Probabilités conditionnelles

Exercices types : 1ère partie - Exercice 2

20 min
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Question 1
Partie A
On choisit un client au hasard et on définit les évènements :
  • AA : « le client consomme des produits BIO »
  • BB : « le client consomme des produits français »
3030% des clients affirment consommer BIO. Parmi ces clients, 4040% consomment des produits Français.
De plus, 3232% des clients affirment consommer des produits non Français.

Déterminer la probabilité qu'un client consomme des produits BIO étrangers.

Correction
Avec les données du texte, on peut dresser l'arbre pondéré traduisant l'énoncé.
Il vient alors que :

Nous devons calculer :
P(AB)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(\overline{B}\right)
P(AB)=0,3×0,6P\left(A\cap \overline{B}\right)=0,3\times 0,6
Ainsi :
P(AB)=0,18P\left(A\cap \overline{B}\right)=0,18

Question 2

Déterminer la probabilité qu'un client ne consomme pas de produits BIO mais consomme des produits étrangers.

Correction
Nous devons calculer P(AB)P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right) .
Or, nous ne pouvons pas directement calculer cette valeur.
Autrement dit P(B)=0,32P\left(\overline{B}\right)=0,32
Les évènements AA et A\overline{A} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
p(B)=P(AB)+P(AB)p\left(\overline{B}\right)=P\left(A\cap \overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right) équivaut successivement à :
0,32=0,18+P(AB)0,32=0,18+P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)
P(AB)=0,320,18P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=0,32-0,18
Ainsi :
P(AB)=0,14P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=0,14

Question 3

Le client consomme des produits étrangers.
Quelle est la probabilité qu'il ne consomme pas de produits BIO ?

Correction
Nous devons calculons : PB(A)=P(AB)P(B)P_{\overline{B}} \left(\overline{A}\right)=\frac{P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)}{P\left(\overline{B}\right)}
Ainsi : PB(A)=0,140,32P_{\overline{B}} \left(\overline{A}\right)=\frac{0,14}{0,32}
D'où :
PB(A)=0,4375P_{\overline{B}} \left(\overline{A}\right)=0,4375