Probabilités conditionnelles

Evènements indépendants - Exercice 2

10 min
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Question 1
On considère l'arbre pondéré ci-dessous :

Donner la probabilité de l’événement AA.

Correction
D'après l'arbre pondéré, nous pouvons lire que P(A)=0,6P\left(A\right)=0,6.
Question 2

Calculer P(AB)P\left(A\cap B\right) et P(AB)P\left(\overline{A}\cap B\right) .

Correction
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
P(AB)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)
P(AB)=0,6×0,3P\left(A\cap B\right)=0,6\times 0,3
Ainsi :
P(AB)=0,18P\left(A\cap B\right)=0,18

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
P(AB)=P(A)×PA(B)P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(B\right)
P(AB)=0,4×0,4P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,4\times 0,4
Ainsi :
P(AB)=0,16P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,16
Question 3

En déduire la valeur de P(B)P\left( B\right) .

Correction
AA et BB forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P(B)=P(AB)+P(AB)P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)
D'après la question précédente, nous savons que : P(AB)=0,18P\left(A\cap B\right)=0,18 et P(AB)=0,16P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,16
Soit : P(B)=0,18+0,16P\left(B\right)=0,18+0,16
Ainsi :
P(B)=0,34P\left(B\right)=0,34

Question 4

Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?

Correction
    Deux événements AA et BB sont indépendants si et seulement si :
  • P(AB)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
Nous savons que : P(AB)=0,18P\left(A\cap B\right)=0,18 ; P(A)=0,6P\left(A\right)=0,6 et P(B)=0,34P\left(B\right)=0,34
Ainsi :
P(A)×P(B)=0,6×0,34P\left(A\right)\times P\left(B\right)=0,6\times 0,34
P(A)×P(B)=0,204P\left(A\right)\times P\left(B\right)=0,204
Finalement : P(A)×P(B)P(AB)P\left(A\right)\times P\left(B\right)\ne P\left(A\cap B\right)
Les événements AA et BB ne sont donc pas indépendants .