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Probabilités conditionnelles
Evènements indépendants - Exercice 2
10 min
25
Question 1
On considère l'arbre pondéré ci-dessous :
Donner la probabilité de l’événement
A
A
A
.
Correction
D'après l'arbre pondéré, nous pouvons lire que
P
(
A
)
=
0
,
6
P\left(A\right)=0,6
P
(
A
)
=
0
,
6
.
Question 2
Calculer
P
(
A
∩
B
)
P\left(A\cap B\right)
P
(
A
∩
B
)
et
P
(
A
‾
∩
B
)
P\left(\overline{A}\cap B\right)
P
(
A
∩
B
)
.
Correction
D’une part :
\red{\text{D'une part :}}
D’une part :
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
A
(
B
)
P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
A
(
B
)
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
6
×
0
,
3
P\left(A\cap B\right)=0,6\times 0,3
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
6
×
0
,
3
Ainsi :
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
18
P\left(A\cap B\right)=0,18
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
18
D’autre part :
\red{\text{D'autre part :}}
D’autre part :
P
(
A
‾
∩
B
)
=
P
(
A
‾
)
×
P
A
‾
(
B
)
P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(B\right)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
A
(
B
)
P
(
A
‾
∩
B
)
=
0
,
4
×
0
,
4
P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,4\times 0,4
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
4
×
0
,
4
Ainsi :
P
(
A
‾
∩
B
)
=
0
,
16
P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,16
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
16
Question 3
En déduire la valeur de
P
(
B
)
P\left( B\right)
P
(
B
)
.
Correction
A
A
A
et
B
B
B
forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P
(
B
)
=
P
(
A
∩
B
)
+
P
(
A
‾
∩
B
)
P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)
P
(
B
)
=
P
(
A
∩
B
)
+
P
(
A
∩
B
)
D'après la question précédente, nous savons que :
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
18
P\left(A\cap B\right)=0,18
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
18
et
P
(
A
‾
∩
B
)
=
0
,
16
P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,16
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
16
Soit :
P
(
B
)
=
0
,
18
+
0
,
16
P\left(B\right)=0,18+0,16
P
(
B
)
=
0
,
18
+
0
,
16
Ainsi :
P
(
B
)
=
0
,
34
P\left(B\right)=0,34
P
(
B
)
=
0
,
34
Question 4
Les événements
A
A
A
et
B
B
B
sont-ils indépendants ?
Correction
Deux événements
A
A
A
et
B
B
B
sont indépendants si et seulement si :
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
×
P
(
B
)
Nous savons que :
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
18
P\left(A\cap B\right)=0,18
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
18
;
P
(
A
)
=
0
,
6
P\left(A\right)=0,6
P
(
A
)
=
0
,
6
et
P
(
B
)
=
0
,
34
P\left(B\right)=0,34
P
(
B
)
=
0
,
34
Ainsi :
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
0
,
6
×
0
,
34
P\left(A\right)\times P\left(B\right)=0,6\times 0,34
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
0
,
6
×
0
,
34
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
0
,
204
P\left(A\right)\times P\left(B\right)=0,204
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
0
,
204
Finalement :
P
(
A
)
×
P
(
B
)
≠
P
(
A
∩
B
)
P\left(A\right)\times P\left(B\right)\ne P\left(A\cap B\right)
P
(
A
)
×
P
(
B
)
=
P
(
A
∩
B
)
Les événements
A
A
A
et
B
B
B
ne sont donc pas indépendants .