Fonctions exponentielles de base $a$

Les propriétés algébriques des fonctions exponentielles de base aa - Exercice 2

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Question 1
Simplifier les expressions suivantes :

A=5,21,95,20,5A=\frac{5,2^{1,9} }{5,2^{0,5} }

Correction
Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=axy\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=ax\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
  • A=5,21,95,20,5A=\frac{5,2^{1,9} }{5,2^{0,5} }
    A=5,21,90,5A=5,2^{1,9-0,5}
    Ainsi :
    A=5,21,4A=5,2^{1,4}

    Question 2

    B=3,4x3,42B=\frac{3,4^{x} }{3,4^{2} }

    Correction
    Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=axy\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=ax\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
  • B=3,4x3,42B=\frac{3,4^{x} }{3,4^{2} }
    Ainsi :
    B=3,4x2B=3,4^{x-2}

    Question 3

    C=5,545,5xC=\frac{5,5^{4} }{5,5^{x} }

    Correction
    Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=axy\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=ax\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
  • C=5,545,5xC=\frac{5,5^{4} }{5,5^{x} }
    Ainsi :
    C=5,54xC=5,5^{4-x}