Fonction inverse

Exercices types : 1ère partie - Exercice 3

12 min
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Soit ff la fonction définie sur [1;5]\left[1;5\right] par : f(x)=4x2xf\left(x\right)=4x-\frac{2}{x} .
Question 1

Justifier toutes les informations données dans le tableau de variation de ff ci-dessus.

Correction
Nous allons commencer par calculer la dérivée de la fonction ff.
  • (nombrex)=nombrex2\left(\frac{\red{\text{nombre}}}{x} \right)^{'} =-\frac{{\red{\text{nombre}}}}{x^{2} }
  • Nous avons f(x)=4x2xf\left(x\right)=4x-\frac{\red{2}}{x} alors :
    f(x)=4(2x)f\left(x\right)=4-\left(-\frac{\red{2}}{x}\right)
    D'où :
    f(x)=4+2x2f'\left(x\right)=4+\frac{\red{2}}{x^{2} }

    Maintenant, il va nous falloir étudier le signe de ff'.
    Nous savons que x[1;5]x \in \left[1;5\right]
    De ce fait, x2x^{2} est alors strictement positif.
    Comme 2>02>0 alors on peut également dire que 2x2>0\frac{2}{x^{2} }>0
    Comme 4>04>0 il en résulte donc que : 4+2x2>04+\frac{2}{x^{2} }>0
    Finalement, pour tout réel x[1;5]x \in \left[1;5\right] , on peut affirmer que f(x)>0f'\left(x\right)>0
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Nous pouvons donc maintenant dresser le tableau de variation de ff :
    Avec :
  • f(1)=4×121f(1)=42f(1)=2f\left(1\right)=4\times 1-\frac{2}{1} \Rightarrow f\left(1\right)=4-2\Rightarrow \red{f\left(1\right)=2}
  • f(5)=4×525f(5)=2025f(5)=20×5525f(5)=100525f(5)=985f\left(5\right)=4\times 5-\frac{2}{5} \Rightarrow f\left(5\right)=20-\frac{2}{5} \Rightarrow f\left(5\right)=\frac{20\times 5}{5} -\frac{2}{5} \Rightarrow f\left(5\right)=\frac{100}{5} -\frac{2}{5} \Rightarrow \red{f\left(5\right)=\frac{98}{5}}