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Calculer des dérivées et mise au même dénominateur - Exercice 5

5 min
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Soit ff la fonction définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=x+2+25xf\left(x\right)=x+2+\frac{25}{x}
Question 1

Montrer que, pour tout réel xx de ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[, on a : f′(x)=(x−5)(x+5)x2f'\left(x\right)=\frac{\left({x-5}\right)\left(x+5\right)}{x^{2} }

Correction
  • (nombrex)′=−nombrex2\left(\frac{\red{\text{nombre}}}{x} \right)^{'} =-\frac{{\red{\text{nombre}}}}{x^{2} }
    • Nous avons f(x)=x+2+25xf\left(x\right)=x+2+\frac{\red{25}}{x} alors :
    f′(x)=1−25x2f'\left(x\right)=1-\frac{\red{25}}{x^{2} } . Nous allons maintenant mettre l'expression au même dénominateur.
    Ainsi :
    f′(x)=11−25x2f'\left(x\right)=\frac{1}{1}-\frac{25}{x^{2} }
    f′(x)=1×x21×x2−25x2f'\left(x\right)=\frac{1\times x^{2}}{1\times x^{2}}-\frac{25}{x^{2} }
    f′(x)=x2x2−25x2f'\left(x\right)=\frac{x^{2}}{ x^{2}}-\frac{25}{x^{2} }
    f′(x)=x2−25x2f'\left(x\right)=\frac{x^{2}-25}{ x^{2}}
    f′(x)=x2−52x2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{x}}^{2} -{\color{red}{5}}^{2} }{x^{2} } . Ici on fait apparaître une identité remarquable afin de factoriser le numérateur.
    • a2−b2=(a−b)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
    Ainsi :
    f′(x)=(x−5)(x+5)x2f'\left(x\right)=\frac{\left({\color{blue}{x}}-{\color{red}{5}}\right)\left({\color{blue}{x}}+{\color{red}{5}}\right)}{x^{2} }

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