Variables aléatoires discrètes et loi binomiale

Loi binomiale - Exercice 1

5 min
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Question 1
La variable aléatoire XX suit la loi binomiale B(10;0,2)\mathscr{B}\left(10;0,2\right)

Sachant que (104)=210\left(\begin{array}{c} {10} \\ {4} \end{array}\right)=210 , calculer P(X=4)P\left(X=4\right) .

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) alors, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a :
  • P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
  • Ainsi :
    P(X=4)=(104)×(0,2)4×(10,2)104P\left(X=4\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{4} \times \left(1-0,2 \right)^{10-4}
    P(X=4)=(104)×(0,2)4×(0,8)6P\left(X=4\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{4} \times \left(0,8\right)^{6}
    P(X=4)=210×(0,2)4×(0,8)6P\left(X=4\right)=210\times \left(0,2 \right)^{4} \times \left(0,8\right)^{6}
    Finalement :
    P(X=4)0,09P\left(X=4\right) \approx 0,09
    Question 2

    Sachant que (101)=10\left(\begin{array}{c} {10} \\ {1} \end{array}\right)=10 , calculer P(X=1)P\left(X=1\right) .

    Correction
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) alors, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a :
  • P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
  • Ainsi :
    P(X=1)=(101)×(0,2)1×(10,2)101P\left(X=1\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{1} \times \left(1-0,2 \right)^{10-1}
    P(X=1)=(101)×(0,2)1×(0,8)9P\left(X=1\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{1} \times \left(0,8\right)^{9}
    P(X=1)=10×(0,2)1×(0,8)9P\left(X=1\right)=10\times \left(0,2 \right)^{1} \times \left(0,8\right)^{9}
    Finalement :
    P(X=1)0,27P\left(X=1\right) \approx 0,27
    Question 3

    Sachant que (107)=120\left(\begin{array}{c} {10} \\ {7} \end{array}\right)=120 , calculer P(X=7)P\left(X=7\right) .

    Correction
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) alors, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a :
  • P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
  • Ainsi :
    P(X=7)=(107)×(0,2)7×(10,2)107P\left(X=7\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {7} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{7} \times \left(1-0,2 \right)^{10-7}
    P(X=7)=(107)×(0,2)7×(0,8)3P\left(X=7\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {7} \end{array}\right)\times \left(0,2 \right)^{7} \times \left(0,8\right)^{3}
    P(X=7)=120×(0,2)7×(0,8)3P\left(X=7\right)=120\times \left(0,2 \right)^{7} \times \left(0,8\right)^{3}
    Finalement :
    P(X=7)0,30P\left(X=7\right) \approx 0,30