Probabilités conditionnelles

Sous formes de problèmes - Exercice 1

16 min
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Question 1
Le parc informatique d’une entreprise est constitué de 20002000 ordinateurs. Parmi ceux-ci, 500500 sont considérés comme neufs car ils ont moins d’un an. Les autres sont considérés comme anciens.
Le service informatique de cette société estime que la probabilité qu’un ordinateur neuf ait un problème de sécurité est égale à 0,050,05. Pour un ordinateur plus ancien, la probabilité qu’il en ait un est égale à 0,40,4. On choisit au hasard un ordinateur du parc informatique. On considère les évènements suivants :
  • NN : " l'ordinateur est neuf ".
  • SS : " L’ordinateur a un problème de sécurité ".

Justifier que p(N)=0,25p\left(N\right) = 0,25.

Correction
Nous avons 500500 ordinateurs neufs parmi les 20002000 ordinateurs au total.
Ainsi :
p(N)=5002000p\left(N\right) = \frac{500}{2000}
p(N)=0,25p\left(N\right) = 0,25

Question 2

Compléter l’arbre pondéré ci-dessus.

Correction
Question 3

Décrire par une phrase l’événement N∩SN\cap S puis calculer sa probabilité.

Correction
L'évènement N∩SN\cap S correspond à l'évènement : l’ordinateur est neuf et{\color{blue}{\text{et}}} a des problèmes de sécurité .
P(N∩S)=P(N)×PN(S)P\left(N\cap S\right)=P\left(N\right)\times P_{N} \left(S\right)
P(N∩S)=0,25×0,05P\left(N\cap S\right)=0,25\times 0,05
P(N∩S)=0,0125P\left(N\cap S\right)=0,0125

Question 4

Montrer que p(S)=0,3125p\left(S\right) = 0,3125 .

Correction
NN et N‾\overline{N} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P(S)=P(N∩S)+P(N‾∩S)P\left(S\right)=P\left(N\cap S\right)+P\left(\overline{N}\cap S\right)
P(S)=P(N)×PN(S)+P(N‾)×PN‾(S)P\left(S\right)=P\left(N\right)\times P_{N} \left(S\right)+P\left(\overline{N}\right)\times P_{\overline{N}} \left(S\right)
Soit : P(S)=0,25×0,05+0,75×0,4P\left(S\right)=0,25\times 0,05 +0,75\times 0,4
Ainsi :
P(S)=0,3125P\left(S\right)=0,3125