Résoudre une équation de la forme xa=bx^{a}=b - Exercice 1

15 min
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Résoudre dans ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ les équations suivantes :
Question 1

x0,5=1024x^{0,5} =1024

Correction
x0,5=1024x^{0,5} =1024
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(x0,5)=log⁡(1024)\log \left(x^{0,5} \right)=\log \left(1024\right)
    log⁡(x0,5)=log⁡(210)\log \left(x^{0,5} \right)=\log \left(2^{10} \right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • 0.5log⁡(x)=10log⁡(2)0.5\log \left(x\right)=10\log \left(2\right)
    log⁡(x)=100.5log⁡(2)\log \left(x\right)=\frac{10}{0.5} \log \left(2\right)
    log⁡(x)=100.5log⁡(2)\log \left(x\right)=\frac{10}{0.5} \log \left(2\right)
    log⁡(x)=20log⁡(2)\log \left(x\right)=20\log \left(2\right)
    log⁡(x)=log⁡(220)\log \left(x\right)=\log \left(2^{20} \right)
    Ainsi :
    x=220x=2^{20}

    Question 2

    x0,2=256x^{0,2} =256

    Correction
    x0,2=256x^{0,2} =256
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(x0,2)=log⁡(256)\log \left(x^{0,2} \right)=\log \left(256\right)
    log⁡(x0,2)=log⁡(28)\log \left(x^{0,2} \right)=\log \left(2^{8} \right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • 0.2log⁡(x)=8log⁡(2)0.2\log \left(x\right)=8\log \left(2\right)
    log⁡(x)=80.2log⁡(2)\log \left(x\right)=\frac{8}{0.2} \log \left(2\right)
    log⁡(x)=80.2log⁡(2)\log \left(x\right)=\frac{8}{0.2} \log \left(2\right)
    log⁡(x)=40log⁡(2)\log \left(x\right)=40\log \left(2\right)
    log⁡(x)=log⁡(240)\log \left(x\right)=\log \left(2^{40} \right)
    Ainsi :
    x=240x=2^{40}

    Question 3

    x2,25=20x^{2,25} =20

    Correction
    x2,25=20x^{2,25} =20
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(x2,25)=log⁡(20)\log \left(x^{2,25} \right)=\log \left(20\right)
    2,25log⁡(x)=log⁡(20)2,25\log \left(x\right)=\log \left(20\right)
    log⁡(x)=log⁡(20)2,25\log \left(x\right)=\frac{\log \left(20\right)}{2,25}
    log⁡(x)=log⁡(20)2,25\log \left(\red{x}\right)=\blue{\frac{\log \left(20\right)}{2,25} }
      Soient xx un réel strictement positif et AA un réel. On a alors :
  • log⁡(x)=A⇔x=10A\log \left(\red{x}\right)=\blue{A}\Leftrightarrow \red{x}=10^{\blue{A}}
    • x=10log⁡(20)2,25\red{x}=10^{\blue{\frac{\log \left(20\right)}{2,25} }}
    Or : 10log⁡(20)2,25≈3,7910^{\frac{\log \left(20\right)}{2,25} } \approx 3,79
    Ainsi :
    x≈3,79x\approx 3,79


    Question 4

    x5,3=857x^{5,3} =857

    Correction
    x5,3=857x^{5,3} =857
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(x5,3)=log⁡(857)\log \left(x^{5,3} \right)=\log \left(857\right)
    5,3log⁡(x)=log⁡(857)5,3\log \left(x\right)=\log \left(857\right)
    log⁡(x)=log⁡(857)5,3\log \left(x\right)=\frac{\log \left(857\right)}{5,3}
    log⁡(x)=log⁡(857)5,3\log \left(\red{x}\right)=\blue{\frac{\log \left(857\right)}{5,3} }
      Soient xx un réel strictement positif et AA un réel. On a alors :
  • log⁡(x)=A⇔x=10A\log \left(\red{x}\right)=\blue{A}\Leftrightarrow \red{x}=10^{\blue{A}}
    • x=10log⁡(857)5,3\red{x}=10^{\blue{\frac{\log \left(857\right)}{5,3} }}
    Or : 10log⁡(857)5,3≈3,5710^{\frac{\log \left(857\right)}{5,3} } \approx 3,57
    Ainsi :
    x≈3,57x\approx 3,57
    Question 5

    2x3,8−5=4792x^{3,8}-5 =479

    Correction
    2x3,8−5=4792x^{3,8}-5 =479
    2x3,8=4842x^{3,8}=484
    x3,8=4842x^{3,8}=\frac{484}{2}
    x3,8=242x^{3,8}=242
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(x3,8)=log⁡(242)\log \left(x^{3,8} \right)=\log \left(242\right)
    3,8log⁡(x)=log⁡(242)3,8\log \left(x\right)=\log \left(242\right)
    log⁡(x)=log⁡(242)3,8\log \left(x\right)=\frac{\log \left(242\right)}{3,8}
    log⁡(x)=log⁡(242)3,8\log \left(\red{x}\right)=\blue{\frac{\log \left(242\right)}{3,8} }
      Soient xx un réel strictement positif et AA un réel. On a alors :
  • log⁡(x)=A⇔x=10A\log \left(\red{x}\right)=\blue{A}\Leftrightarrow \red{x}=10^{\blue{A}}
    • x=10log⁡(242)3,8\red{x}=10^{\blue{\frac{\log \left(242\right)}{3,8} }}
    Or : 10log⁡(242)3,8≈4,2310^{\frac{\log \left(242\right)}{3,8} } \approx 4,23
    Ainsi :
    x≈4,23x\approx 4,23

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