Exercices types : 1^ère partie - Exercice 3

Nous allons commencer par calculer la dérivée de la fonction $$f$$.
Nous avons $$f\left(x\right)=4x-\frac{\red{2}}{x}$$ alors :
$$f\left(x\right)=4-\left(-\frac{\red{2}}{x}\right)$$
D'où :
Maintenant, il va nous falloir étudier le signe de $$f'$$.
Nous savons que $$x \in \left[1;5\right]$$
De ce fait, $$x^{2}$$ est alors strictement positif.
Comme $$2>0$$ alors on peut également dire que $$\frac{2}{x^{2} }>0$$
Comme $$4>0$$ il en résulte donc que : $$4+\frac{2}{x^{2} }>0$$
Finalement, pour tout réel $$x \in \left[1;5\right]$$ , on peut affirmer que $$f'\left(x\right)>0$$
Nous pouvons donc maintenant dresser le tableau de variation de $$f$$ :
Avec :

$$f\left(1\right)=4\times 1-\frac{2}{1} \Rightarrow f\left(1\right)=4-2\Rightarrow \red{f\left(1\right)=2}$$

$$f\left(5\right)=4\times 5-\frac{2}{5} \Rightarrow f\left(5\right)=20-\frac{2}{5} \Rightarrow f\left(5\right)=\frac{20\times 5}{5} -\frac{2}{5} \Rightarrow f\left(5\right)=\frac{100}{5} -\frac{2}{5} \Rightarrow \red{f\left(5\right)=\frac{98}{5}}$$