Exercices types : 1^ère partie - Exercice 2

Nous avons $$f\left(x\right)=x-7+\frac{\red{25}}{x}$$ alors :

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=1-\frac{25}{x^{2} }$$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
$$f'\left(x\right)=\frac{1}{1} -\frac{25}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{1\times x^{2} }{x^{2} } -\frac{25}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{x^{2} -25}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}x}^{2} -{\color{red}5}^{2} }{x^{2} }$$ . Ici on fait apparaître une identité remarquable afin de factoriser le numérateur.
Ainsi :

$$\red{\text{Premièrement}}$$

Le dénominateur $$x^{2}$$ s'annule pour $$x=0$$ qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur $$\mathbb{R^{*}}$$ . Le signe de $$x^{2}$$ est alors strictement positif. Donc le signe de $$f\left(x\right)$$ ne dépend alors que de son numérateur $$\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$ . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur $$0$$ .

$$\red{\text{Deuxièmement :}}$$

$$x-5=0\Leftrightarrow x=5$$
Soit $$x\mapsto x-5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Troisièmement :}}$$

$$x+5=0\Leftrightarrow x=-5$$
Soit $$x\mapsto x+5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe de $$f'\left(x\right)$$ est alors :