Fonction inverse

Exercices types : 1ère partie - Exercice 1

25 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R^{*}} par : f(x)=4x+2+16xf\left(x\right)=4x+2+\frac{16}{x}

Déterminer f(x)f'\left(x\right)

Correction
  • (nombrex)=nombrex2\left(\frac{\red{\text{nombre}}}{x} \right)^{'} =-\frac{{\red{\text{nombre}}}}{x^{2} }
  • Nous avons f(x)=4x+2+16xf\left(x\right)=4x+2+\frac{\red{16}}{x} alors :
    f(x)=416x2f'\left(x\right)=4-\frac{\red{16}}{x^{2} }
    Question 2

    Montrer que pour tout réel xx non nul, on a : f(x)=(2x4)(2x+4)x2f'\left(x\right)=\frac{\left(2x-4\right)\left(2x+4\right)}{x^{2} }

    Correction
    Nous savons que : f(x)=416x2f'\left(x\right)=4-\frac{16}{x^{2} } . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
    f(x)=4116x2f'\left(x\right)=\frac{4}{1} -\frac{16}{x^{2} }
    f(x)=4×x2x216x2f'\left(x\right)=\frac{4\times x^{2} }{x^{2} } -\frac{16}{x^{2} }
    f(x)=4x216x2f'\left(x\right)=\frac{4x^{2} -16}{x^{2} }
    f(x)=(2x)242x2f'\left(x\right)=\frac{\left({\color{blue}{2x}}\right)^{2} -{\color{red}{4}}^{2} }{x^{2} } . Ici on fait apparaître une identité remarquable afin de factoriser le numérateur.
    • a2b2=(ab)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
    Ainsi :
    f(x)=(2x4)(2x+4)x2f'\left(x\right)=\frac{\left({\color{blue}{2x}}-{\color{red}{4}}\right)\left({\color{blue}{2x}}+{\color{red}{4}}\right)}{x^{2} }

    Question 3

    Déterminer le signe de f(x)f'\left(x\right) .

    Correction
    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • on identifie la valeur interdite .
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    • On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaître sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement\red{\text{Premièrement}}
  • Le dénominateur x2x^{2} s'annule pour x=0x=0 qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur R\mathbb{R^{*}} . Le signe de x2x^{2} est alors strictement positif. Donc le signe de f(x)f\left(x\right) ne dépend alors que de son numérateur 2(x+4)(x5)2\left(x+4\right)\left(x-5\right) . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur 00 .
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
  • 2x4=02x=4x=42x=22x-4=0\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=\frac{4}{2}\Leftrightarrow x=2
    Soit x2x4x\mapsto 2x-4 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x42x-4 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
  • 2x+4=02x=4x=42x=22x+4=0\Leftrightarrow 2x=-4\Leftrightarrow x=\frac{-4}{2}\Leftrightarrow x=-2
    Soit x2x+4x\mapsto 2x+4 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x+42x+4 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=-2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe de f(x)f'\left(x\right) est alors :
    Question 4

    En déduire les variations de ff.

    Correction
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
  • f(2)=4×(2)+2+16(2)f\left(-2\right)=4\times \left(-2\right)+2+\frac{16}{\left(-2\right)} donc f(2)=14f\left(-2\right)=-14
  • f(2)=4×2+2+162f\left(2\right)=4\times 2+2+\frac{16}{2} donc f(2)=18f\left(2\right)=18
  • Question 5

    Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de ff au point d'abscisse 11 .

    Correction
    L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
    Ici a=1a=1, ce qui donne, y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right).
    11ère étape : calculer f(1)f\left(1\right)
    f(1)=4×1+2+161f\left(1\right)=4\times 1+2+\frac{16}{1}
    f(1)=22f\left(1\right)=22
    22ème étape : calculer f(1)f'\left(1\right)
    f(1)=4×121612f'\left(1\right)=\frac{4\times 1^{2} -16}{1^{2} }
    f(1)=12f'\left(1\right)=-12
    33ème étape : on remplace les valeurs de f(1)f\left(1\right) et de f(1)f'\left(1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
    On sait que :
    y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
    y=(12)×(x1)+22y=\left(-12\right)\times \left(x-1\right)+22
    y=12x+12+22y=-12x+12+22
    y=12x+24y=-12x+24
    Ainsi l'équation de la tangente à courbe représentative de ff au point d'abscisse 11 est alors y=12x+34y=-12x+34.