Etudes de fonctions - Exercice 3

Nous avons $$f\left(x\right)=x+2+\frac{\red{81}}{x}$$ alors :
. Nous allons tout mettre au même dénominateur .
$$f'\left(x\right)=\frac{1}{1} -\frac{81}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{1\times x^{2} }{x^{2} } -\frac{81}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{x^{2} -81}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}x}^{2} -{\color{red}9}^{2} }{x^{2} }$$ . Ici on fait apparaître une identité remarquable afin de factoriser le numérateur.
Ainsi :

Le dénominateur $$x^{2}$$ s'annule pour $$x=0$$ qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur $$\mathbb{R^{*}}$$ .
Le signe de $$x^{2}$$ est alors $$\red{\text{strictement positif}}$$.
Donc le signe de $$f\left(x\right)$$ $$\red{\text{ne dépend alors que de son numérateur}}$$ $$\left(x-9\right)\left(x+9\right)$$ .
Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur $$0$$ .

$$\red{\text{Premièrement :}}$$

$$x-9=0\Leftrightarrow x=9$$
Soit $$x\mapsto x-9$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-9$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=9$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Deuxièmement :}}$$

$$x+9=0\Leftrightarrow x=-9$$
Soit $$x\mapsto x+9$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+9$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-9$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe de $$f'\left(x\right)$$ est alors :