Etudes de fonctions - Exercice 2

10 min
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Soit ff la fonction définie sur R∗\mathbb{R^{*}} par : f(x)=2x+6−3xf\left(x\right)=2x+6-\frac{3}{x}
Question 1

Montrer que pour tout réel xx non nul, on a : f′(x)=2+3x2f'\left(x\right)=2+\frac{3}{x^{2} }

Correction
  • (nombrex)′=−nombrex2\left(\frac{\red{\text{nombre}}}{x} \right)^{'} =-\frac{{\red{\text{nombre}}}}{x^{2} }
    • Nous avons f(x)=2x+6−3xf\left(x\right)=2x+6-\frac{\red{3}}{x} alors :
    f′(x)=2−(−3x2)f'\left(x\right)=2-\left(-\frac{\red{3}}{x^{2}}\right)
    D'où :
    f′(x)=2+3x2f'\left(x\right)=2+\frac{\red{3}}{x^{2} }

    Question 2

    Etudier le signe de f′f' pour tout réel xx non nul.

    Correction
    Nous savons que xx est un réel non nul.
    De ce fait, x2x^{2} est alors strictement positif.
    Comme 3>03>0 alors on peut également dire que 3x2>0\frac{3}{x^{2} }>0
    Comme 2>02>0 il en résulte donc que : 2+3x2>02+\frac{3}{x^{2} }>0
    Finalement, pour tout réel xx non nul, on peut affirmer que f′(x)>0f'\left(x\right)>0
    Nous dressons ci-dessous, le tableau de signe de f′f'.
    Question 3

    Pour tout réel xx non nul, en déduire le sens de variation de ff.

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].

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