Calculer des dérivées et mise au même dénominateur - Exercice 4

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Soit ff la fonction définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=x2+5x−2+6xf\left(x\right)=x^{2}+5x-2+\frac{6}{x}
Question 1

Montrer que, pour tout réel xx de ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[, on a : f′(x)=2x3+5x2−6x2f'\left(x\right)=\frac{2x^{3}+5x^{2}-6}{x^{2} }

Correction
  • (nombrex)′=−nombrex2\left(\frac{\red{\text{nombre}}}{x} \right)^{'} =-\frac{{\red{\text{nombre}}}}{x^{2} }
    • Nous avons f(x)=x2+5x−2+6xf\left(x\right)=x^{2}+5x-2+\frac{\red{6}}{x } alors :
    f′(x)=2x+5−6x2f'\left(x\right)=2x+5-\frac{\red{6}}{x^{2} } . Nous allons maintenant mettre l'expression au même dénominateur.
    Ainsi :
    f′(x)=2x1+51−6x2f'\left(x\right)=\frac{2x}{1}+\frac{5}{1}-\frac{6}{x^{2} }
    f′(x)=2x×x21×x2+5×x21×x2−6x2f'\left(x\right)=\frac{2x\times x^{2}}{1\times x^{2}}+ \frac{5\times x^{2}}{1\times x^{2}}-\frac{6}{x^{2} }
    f′(x)=2x3x2+5x2x2−6x2f'\left(x\right)=\frac{2x^{3}}{x^{2}}+ \frac{5x^{2}}{ x^{2}}-\frac{6}{x^{2} }
    Finalement :
    f′(x)=2x3+5x2−6x2f'\left(x\right)=\frac{2x^{3}+5x^{2}-6}{x^{2} }

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