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Loi binomiale - Exercice 2

15 min
30
Question 1

Une urne dispose de 55 boules rouges et 44 boules blanches.
On tire successivement et avec remise 77 boules.
Quelle est la probabilité de tirer exactement 22 blanches ?

Correction
Reˊdaction type pour la loi binomiale :\purple{\text{Rédaction type pour la loi binomiale :}}
On considère l'expérience ci-dessous aˋ deux issues :\red{\text{à deux issues :}}
  • On appelle succeˋs\red{\text{succès}} « tirer une boule blanche » avec la probabilité p=49p=\frac{4}{9}
  • On appelle eˊchec\red{\text{échec}} « tirer une boule rouge » avec la probabilité 1−p=591-p=\frac{5}{9}
    • On répète 77 fois de suite cette expérience de Bernoulli de façon indeˊpendante\red{\text{façon indépendante}}.
    On est donc en présence d’un scheˊma de Bernoulli.\red{\text{d'un schéma de Bernoulli.}}
    XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de fois que l'on tire une boule blanche.
    XX suit la loi binomiale de paramètre n=7n=7 et p=49p=\frac{4}{9}
    On note alors XX suit la loi binomiale B(7;49)\mathscr{B}\left(7;\frac{4}{9}\right)

    Il nous faut calculer P(X=2)P\left(X=2\right)
    Premieˋre manieˋre :\blue{\text{Première manière :}} Avec la formule du cours
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) alors, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a :
  • P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
    • Ainsi :
    P(X=2)=(72)×(49)2×(59)7−2≈0,22P\left(X=2\right)=\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(\frac{4}{9} \right)^{2} \times \left(\frac{5}{9} \right)^{7-2} \approx 0,22

    Deuxieˋme manieˋre :\blue{\text{Deuxième manière :}} En utilisant les fonctionnalités de la calculatrice
    Avec une Texas :\red{\text{Avec une Texas :}}
    on tape pour P(X=2)P\left(X=2\right)
    (tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Texas" pour plus de détails)
    2nd     - DISTR -- puis choisir BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp(7, 49\frac{4}{9} , 2) puis taper sur enter et on obtient :
    P(X=2)≈0,22P\left(X=2\right)\approx 0,22
    arrondi à 10−310^{-3} près.
    Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp
    Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modeˋle supeˊrieur:\red{\text{Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur:}}
    on tape pour : P(X=2)P\left(X=2\right)
    (tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Casio" pour plus de détails)
    Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.

    On remplit le tableau de la manière qui suit :
    D.P. Binomiale
    Data Variable
    xx : 22 valeur de kk
    Numtrial : 77 valeur de nn
    pp : 49\frac{4}{9} valeur de pp

    puis taper sur EXE et on obtient :
    P(X=2)≈0,22P\left(X=2\right)\approx 0,22
    arrondi à 10−310^{-3} près.
    Question 2

    On lance un dé 1010 fois.
    Quelle est la probabilité de tirer au moins un chiffre supérieur ou égal à 55 ?

    Correction
    Reˊdaction type pour la loi binomiale :\purple{\text{Rédaction type pour la loi binomiale :}}
    On considère l'expérience ci-dessous aˋ deux issues :\red{\text{à deux issues :}}
  • On appelle succeˋs\red{\text{succès}} « tirer un chiffre supérieur ou égal à 55 » avec la probabilité p=13p=\frac{1}{3}
  • On appelle eˊchec\red{\text{échec}} « ne pas tirer un chiffre supérieur ou égal à 55 » avec la probabilité 1−p=231-p=\frac{2}{3}
    • On répète 1010 fois de suite cette expérience de Bernoulli de façon indeˊpendante\red{\text{façon indépendante}}.
    On est donc en présence d’un scheˊma de Bernoulli.\red{\text{d'un schéma de Bernoulli.}}
    XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de fois que l'on tire un chiffre supérieur ou égal à 55.
    XX suit la loi binomiale de paramètre n=10n=10 et p=13p=\frac{1}{3}
    On note alors XX suit a loi binomiale B(10;13)\mathscr{B}\left(10;\frac{1}{3}\right)

    Il nous faut calculer P(X≥1)P\left(X\ge 1\right). Or P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)
    Pour le calcul de P(X=0)P\left(X=0\right)
    Premieˋre manieˋre :\blue{\text{Première manière :}} Avec la formule du cours
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p)\mathscr{B}\left(n;p\right) alors, pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a :
  • P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)p^{k} \left(1-p\right)^{n-k}
    • Ainsi :
    P(X=0)=(100)×(13)0×(23)10−0≈0,017P\left(X=0\right)=\left(\begin{array}{c} {10} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{3} \right)^{0} \times \left(\frac{2}{3} \right)^{10-0} \approx 0,017

    Enfin : P(X≥1)≈1−0,017≈0,983P\left(X\ge 1\right)\approx 1-0,017\approx 0,983 arrondi à 10−310^{-3} près.
    Deuxieˋme manieˋre :\blue{\text{Deuxième manière :}} En utilisant les fonctionnalités de la calculatrice
    Avec une Texas :\red{\text{Avec une Texas :}} on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right) :
    (tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Texas" pour plus de détails)
    2nd     - DISTR -- puis choisir
    BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp(10, 13\frac{1}{3} , 0) puis taper sur enter et on obtient :
    P(X=0)≈0,017P\left(X=0\right)\approx 0,017
    arrondi à 10−310^{-3} près.
    Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.
    Enfin P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right) soit P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right) d'où :
    P(X≥1)≈1−0,017≈0,983P\left(X\ge 1\right)\approx 1-0,017\approx 0,983 arrondi à 10−310^{-3} près.
    Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modeˋle supeˊrieur :\red{\text{Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur :}} on tape pour P(X=0)P\left(X=0\right)
    (tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Casio" pour plus de détails)
    Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.

    On remplit le tableau de la manière qui suit :
    D.P Binomiale
    Data Variable
    xx : 00 valeur de kk
    Numtrial : 1010 valeur de nn
    pp : 13\frac{1}{3} valeur de pp

    puis taper sur EXE et on obtient :
    P(X=0)≈0,017P\left(X=0\right)\approx 0,017
    arrondi à 10−310^{-3} près.
    Enfin P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right) soit P(X≥1)=1−P(X=0)P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right) d'où
    P(X≥1)≈1−0,017≈0,983P\left(X\ge 1\right)\approx 1-0,017\approx 0,983 arrondi à 10−310^{-3} près.