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Suite géométrique : Ce qu'il faut savoir - Exercice 1

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Question 1
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison q=3q=3 et de premier terme u0=127u_{0} =\frac{1}{27}.

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • Ainsi :
    un+1=un×3u_{n+1} =u_{n}\times3
    Finalement :
    un+1=3unu_{n+1} =3u_{n}

    Question 2

    Calculer u1u_{1} et u2u_{2}.

    Correction
    Nous savons que un+1=3unu_{n+1} =3u_{n} et que u0=127u_{0} =\frac{1}{27} .
  • Calcul de u1u_{1} .
    • u0+1=3×u0u_{0+1} =3\times u_{0}
    u1=3×u0u_{1} =3\times u_{0}
    u1=3×127u_{1} =3\times \frac{1}{27} d'où :
    u1=19u_{1} =\frac{1}{9}
  • Calcul de u2u_{2} .
    • u1+1=3×u1u_{1+1} =3\times u_{1}
    u2=3×u1u_{2} =3\times u_{1}
    u2=3×19u_{2} =3\times \frac{1}{9} d'où :
    u2=13u_{2} =\frac{1}{3}

    Question 3

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
    Donner le terme général de la suite unu_{n} . Ces deux phrases signifient la même chose .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=127u_{0} =\frac{1}{27}.
    Il en résulte donc que :
    un=127×3nu_{n} =\frac{1}{27}\times3^{n}

    Question 4

    Calculer u7u_{7}.

    Correction
    Pour déterminer la valeur de u7u_{7}, il est plus simple de travailler avec la formule explicite : un=127×3nu_{n} =\frac{1}{27}\times3^{n}
    Il vient alors que :
    u7=127×37u_{7} =\frac{1}{27}\times3^{7}
    u7=81u_{7} =81