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Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique - Exercice 2

6 min
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Question 1
Soit une suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) de raison r=7r=7 et de u1=−15u_{1} =-15.

Donner l'expression de unu_{n} en fonction de nn .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u1=−15u_{1} =-15 et r=7r=7.
    Il en résulte donc que :
    un=−15+(n−1)×7u_{n} =-15 +\left(n-1\right)\times 7
    un=−15+7n−7u_{n} =-15 +7n-7
    Autrement dit :
    un=7n−22u_{n} =7n-22
    Question 2

    Calculer u15u_{15} .

    Correction
    D'après la question 11, nous savons que un=7n−22u_{n} =7n-22 .
    Il vient alors que :
    u15=7×15−22u_{15} =7\times15-22
    u15=105−22=83u_{15} =105-22=83
    u15=83u_{15} =83
    Question 3

    Calculer : S=u1+u2+…+u15S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15} . Nous pouvons également écrire S=∑k=115ukS=\sum _{k=1}^{15}u_{k} .

    Correction
    La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    Nous voulons calculer S=u1+u2+…+u15S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}
    Il y a en tout 15\red{15} termes en partant de u1 u_{1} à u15 u_{15}.
    On applique la formule :
    S=u1+u2+…+u15=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
    S=15×(u1+u152)S=15\times \left(\frac{u_{1} +u_{15} }{2} \right)
    S=15×(−15+832)S=15\times \left(\frac{-15+83}{2} \right)
    S=15×(682)S=15\times \left(\frac{68}{2} \right)
    S=15×34S=15\times 34
    Ainsi :
    S=510S=510

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