Utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler - Exercice 1

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Une association d'aide à domicile a relevé le nombre de ses bénéficiaires de 20182018 à 20242024. On a obtenu l'ajustement affine y=1,5x+42y=1{,}5x+42, où xx est le rang de l'année (x=1x=1 pour 20182018) et yy le nombre de bénéficiaires, en centaines.
Question 1

Estimer le nombre de bénéficiaires en 20212021. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?

Correction
Une estimation à l'intérieur de la période étudiée est une interpolation. Une estimation en dehors de cette période est une extrapolation : elle suppose que l'ajustement reste valable.
L'année 20212021 correspond au rang x=4x=4.
y=1,5×4+42=48y=1{,}5\times 4+42=48
y=48y=48

Selon ce modèle, il y avait environ 4 8004\,800 bénéficiaires en 20212021. L'année 20212021 est dans la période étudiée (20182018 à 20242024) : c'est une interpolation.
Question 2

Estimer le nombre de bénéficiaires en 20272027. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?

Correction
L'année 20272027 correspond au rang x=10x=10.
y=1,5×10+42=57y=1{,}5\times 10+42=57
y=57y=57

Selon ce modèle, il y aurait environ 5 7005\,700 bénéficiaires en 20272027. L'année 20272027 est après la période étudiée : c'est une extrapolation, valable seulement si la tendance se poursuit.
Question 3

En supposant que l'ajustement reste valable, en quelle année le nombre de bénéficiaires atteindra-t-il 6 0006\,000 ?

Correction
6 0006\,000 bénéficiaires correspondent à y=60y=60. On résout 1,5x+42≥601{,}5x+42\geq 60.
1,5x+42≥601{,}5x+42\geq 60 équivaut successivement à :
1,5x≥60−421{,}5x\geq 60-42
1,5x≥181{,}5x\geq 18
x≥181,5x\geq \dfrac{18}{1{,}5}
x≥12x\geq 12
Le rang 1212 correspond à l'année 20292029.
Selon ce modèle, le nombre de bénéficiaires atteindra 6 0006\,000 en 20292029.

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