Devoir type n° 2 - Exercice 1

20 min

Exercice noté sur $7$ points.
On étudie la croissance d'une culture de levures :

y_i

est le nombre de cellules, en millions, au bout de

x_i

heures. On pose

z_i=\log\left(y_i\right)

Question 1

Compléter la ligne des $z_i$ , arrondis à $0{,}001$ près.

Correction

\log\left(1{,}5\right)\approx 0{,}176

;

\log\left(2{,}4\right)\approx 0{,}380

;

\log\left(3{,}8\right)\approx 0{,}580

;

\log\left(6\right)\approx 0{,}778

;

\log\left(9{,}5\right)\approx 0{,}978

Question 2

Déterminer une équation de la droite $\left(d\right)$ d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à $0{,}01$ près).

Correction

La droite d'ajustement de

y

x

par la méthode des moindres carrés s'obtient à la calculatrice (régression linéaire). Elle passe toujours par le point moyen

G

À la calculatrice, avec les

x_i

et les

z_i

z=0{,}2x+0{,}18

(coefficients arrondis à

0{,}01

près :

a\approx 0{,}20

b\approx 0{,}18

)

Question 3

En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ , puis estimer le nombre de cellules au bout de $6$ heures.

Correction

La fonction logarithme décimal est croissante et, pour tout nombre

y\gt 0

z=\log\left(y\right)

équivaut à

y=10^{z}

y=10^{z}=10^{0{,}2x+0{,}18}

y=10^{0{,}2\times 6+0{,}18}=10^{1{,}38}\approx 24

y\approx 24

Selon ce modèle, il y aurait environ

24

millions de cellules au bout de

6

heures.

Question 4

Au bout de combien de temps la culture dépassera-t-elle $100$ millions de cellules ?

Correction

Comme la fonction

\log

est croissante,

y\gt 100

équivaut à

z\gt \log\left(100\right)

, soit

z\gt 2

.
On résout

0{,}2x+0{,}18\gt 2

0{,}2x+0{,}18\gt 2

équivaut successivement à :

0{,}2x\gt 2-0{,}18

0{,}2x\gt 1{,}82

x\gt \dfrac{1{,}82}{0{,}2}

x\gt 9{,}1

0{,}1

heure, c'est

0{,}1\times 60=6

minutes. Selon ce modèle, la culture dépassera

100

millions de cellules au bout de

9

6

min.

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Devoir type n° 2 - Exercice 1

Compléter la ligne des ziz_izi​, arrondis à 0,0010{,}0010,001 près.

Déterminer une équation de la droite (d)\left(d\right)(d) d'ajustement de zzz en xxx par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 0,010{,}010,01 près).

En déduire une expression de yyy en fonction de xxx, puis estimer le nombre de cellules au bout de 666 heures.

Au bout de combien de temps la culture dépassera-t-elle 100100100 millions de cellules ?

Compléter la ligne des $z_i$ , arrondis à $0{,}001$ près.

Déterminer une équation de la droite $\left(d\right)$ d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à $0{,}01$ près).

En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ , puis estimer le nombre de cellules au bout de $6$ heures.

Au bout de combien de temps la culture dépassera-t-elle $100$ millions de cellules ?