Ajustement après un changement de variable - Exercice 1

15 min

On étudie le développement d'une population de bactéries :

y_i

est le nombre de bactéries, en milliers, au bout de

x_i

heures. On pose

z_i=\log\left(y_i\right)

Question 1

Recopier et compléter le tableau en arrondissant les valeurs de $z_i$ à $0{,}001$ près.

Correction

À la calculatrice :

\log\left(2\right)\approx 0{,}301

;

\log\left(3{,}2\right)\approx 0{,}505

;

\log\left(5\right)\approx 0{,}699

;

\log\left(8\right)\approx 0{,}903

;

\log\left(12{,}6\right)\approx 1{,}100

;

\log\left(20\right)\approx 1{,}301

Question 2

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $0{,}01$ près.

Correction

La droite d'ajustement de

y

x

par la méthode des moindres carrés s'obtient à la calculatrice (régression linéaire). Elle passe toujours par le point moyen

G

On saisit les

x_i

et les

z_i

dans la calculatrice. Une équation de la droite

\left(d\right)

d'ajustement de

z

x

par la méthode des moindres carrés est :

z=0{,}2x+0{,}3

(coefficients arrondis à

0{,}01

près :

a\approx 0{,}20

b\approx 0{,}30

)

Question 3

En déduire que $y=10^{0{,}2x+0{,}3}$ .

Correction

La fonction logarithme décimal est croissante et, pour tout nombre

y\gt 0

z=\log\left(y\right)

équivaut à

y=10^{z}

On a

z=\log\left(y\right)

, donc

y=10^{z}

. Avec

z=0{,}2x+0{,}3

y=10^{0{,}2x+0{,}3}

Question 4

Estimer le nombre de bactéries au bout de $8$ heures.

Correction

y=10^{0{,}2\times 8+0{,}3}=10^{1{,}9}\approx 79{,}4

y\approx 79{,}4

Selon ce modèle, il y aurait environ

79\,400

bactéries au bout de

8

heures.

Question 5

Au bout de combien de temps la population dépassera-t-elle un million de bactéries ?

Correction

Un million de bactéries correspond à

y=1\,000

(en milliers). Comme la fonction

\log

est croissante,

y\gt 1\,000

équivaut à

z\gt \log\left(1\,000\right)

, soit

z\gt 3

.
On résout

0{,}2x+0{,}3\gt 3

0{,}2x+0{,}3\gt 3

équivaut successivement à :

0{,}2x\gt 3-0{,}3

0{,}2x\gt 2{,}7

x\gt \dfrac{2{,}7}{0{,}2}

x\gt 13{,}5

Selon ce modèle, la population dépassera un million de bactéries au bout de

13{,}5

heures, soit

13

30

min.

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Ajustement après un changement de variable - Exercice 1

Recopier et compléter le tableau en arrondissant les valeurs de ziz_izi​ à 0,0010{,}0010,001 près.

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de zzz en xxx par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 0,010{,}010,01 près.

En déduire que y=100,2x+0,3y=10^{0{,}2x+0{,}3}y=100,2x+0,3.

Estimer le nombre de bactéries au bout de 888 heures.

Au bout de combien de temps la population dépassera-t-elle un million de bactéries ?

Recopier et compléter le tableau en arrondissant les valeurs de $z_i$ à $0{,}001$ près.

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $0{,}01$ près.

En déduire que $y=10^{0{,}2x+0{,}3}$ .

Estimer le nombre de bactéries au bout de $8$ heures.