Probabilités conditionnelles

Sous formes de problèmes - Exercice 3

16 min
30
Albert est un marin participant à une course à la voile en solitaire. Son bateau est très rapide, mais fragile en cas de tempête.
Les prévisions météo permettent d’estimer que, durant la course, la probabilité qu’une tempête survienne est égale à 0,050,05.
En cas de tempête, on estime que la probabilité qu’Albert soit vainqueur de la course est de 0,020,02.
En revanche, si aucune tempête ne survient, la probabilité de victoire d’Albert est de 0,80,8.
On considère les évènements :
  • TT : " une tempête survient pendant la course ".
  • VV : " Albert est vainqueur de la course ".
Question 1

Compléter l’arbre de probabilité ci-dessus :

Correction
Question 2

Quelle est la probabilité de l’évènement : «Une tempête survient et Albert est vainqueur de la course»?

Correction
L'évènement TVT\cap V correspond à l'évènement : Une tempête survient et{\color{blue}{\text{et}}} Albert est vainqueur de la course.
P(TV)=P(T)×PT(V)P\left(T\cap V\right)=P\left(T\right)\times P_{T} \left(V\right)
P(TV)=0,05×0,02P\left(T\cap V\right)=0,05\times 0,02
P(TV)=0,001P\left(T\cap V\right)=0,001
Question 3

Montrer que la probabilité qu’Albert remporte la course est égale à 0,7610,761.

Correction
Nous voulons calculer à cette question la probabilité P(V)P\left(V\right)
TT et T\overline{T} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P(V)=P(TV)+P(TV)P\left(V\right)=P\left(T\cap V\right)+P\left(\overline{T}\cap V\right)
P(V)=P(T)×PT(V)+P(T)×PT(V)P\left(V\right)=P\left(T\right)\times P_{T} \left(V\right)+P\left(\overline{T}\right)\times P_{\overline{T}} \left(V\right)
Soit : P(V)=0,05×0,02+0,95×0,8P\left(V\right)=0,05\times 0,02 +0,95\times 0,8
Ainsi :
P(V)=0,761P\left(V\right)=0,761

Question 4

Calculer la probabilité qu’une tempête soit survenue sachant qu’Albert a gagné la course. On donnera le résultat arrondi à 10410^{-4} près.

Correction
Il s'agit ici d'une forme avec un "sachant{\color{blue}{\text{sachant}}}" c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
  • PB(A)=P(AB)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}

Il vient alors que :
PV(T)=P(TV)P(V)P_{V} \left(T\right)=\frac{P\left(T\cap V\right)}{P\left(V\right)}
PV(T)=P(T)×PT(V)P(V)P_{V} \left(T\right)=\frac{P\left(T\right)\times P_{T} \left(V\right)}{P\left(V\right)}
PV(T)=0,05×0,020,761P_{V} \left(T\right)=\frac{0,05\times 0,02}{0,761} d'où :
PV(T)0,0013P_{V} \left(T\right)\approx 0,0013

La probabilité qu’une tempête soit survenue sachant qu’Albert a gagné la course est de 0,00130,0013 à 10410^{-4} près.