Probabilités conditionnelles

Sous formes de problèmes

Exercice 1

Le parc informatique d’une entreprise est constitué de 20002000 ordinateurs. Parmi ceux-ci, 500500 sont considérés comme neufs car ils ont moins d’un an. Les autres sont considérés comme anciens.
Le service informatique de cette société estime que la probabilité qu’un ordinateur neuf ait un problème de sécurité est égale à 0,050,05. Pour un ordinateur plus ancien, la probabilité qu’il en ait un est égale à 0,40,4. On choisit au hasard un ordinateur du parc informatique. On considère les évènements suivants :
  • NN : " l'ordinateur est neuf ".
  • SS : " L’ordinateur a un problème de sécurité ".
1

Justifier que p(N)=0,25p\left(N\right) = 0,25.

Correction
2

Compléter l’arbre pondéré ci-dessus.

Correction
3

Décrire par une phrase l’événement NSN\cap S puis calculer sa probabilité.

Correction
4

Montrer que p(S)=0,3125p\left(S\right) = 0,3125 .

Correction

Exercice 2

Un conservatoire de musique propose deux parcours à ses élèves : un parcours diplômant et un parcours loisir. On observe que 40%40\% des élèves choisissent le parcours diplômant. Parmi ceux qui ont sélectionné le parcours diplômant, 30%30\% choisissent de faire partie d’un orchestre. Parmi les élèves ayant choisi le parcours loisir, 25%25\% choisissent de faire partie d’un orchestre. On sélectionne un élève de ce conservatoire au hasard.
On considère les évènements suivants :
  • DD : " L’élève sélectionné a choisi le parcours diplômant ".
  • LL : " L’élève sélectionné a choisi le parcours loisir ".
  • OO : " L’élève sélectionné a choisi de faire partie d’un orchestre ".
1

Compléter l’arbre de probabilité ci-dessus.

Correction
2

Décrire par une phrase l’événement DOD\cap O puis calculer sa probabilité.

Correction
3

Déterminer la probabilité de l’évènement OO.

Correction
4

On choisit au hasard un élève faisant partie d’un orchestre. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il suive un parcours diplômant?

Correction

Exercice 3

Albert est un marin participant à une course à la voile en solitaire. Son bateau est très rapide, mais fragile en cas de tempête.
Les prévisions météo permettent d’estimer que, durant la course, la probabilité qu’une tempête survienne est égale à 0,050,05.
En cas de tempête, on estime que la probabilité qu’Albert soit vainqueur de la course est de 0,020,02.
En revanche, si aucune tempête ne survient, la probabilité de victoire d’Albert est de 0,80,8.
On considère les évènements :
  • TT : " une tempête survient pendant la course ".
  • VV : " Albert est vainqueur de la course ".
1

Compléter l’arbre de probabilité ci-dessus :

Correction
2

Quelle est la probabilité de l’évènement : «Une tempête survient et Albert est vainqueur de la course»?

Correction
3

Montrer que la probabilité qu’Albert remporte la course est égale à 0,7610,761.

Correction
4

Calculer la probabilité qu’une tempête soit survenue sachant qu’Albert a gagné la course. On donnera le résultat arrondi à 10410^{-4} près.

Correction

Exercice 4

Un concessionnaire automobile fait le bilan annuel de ses ventes.
60%60\% des véhicules vendus sont d’occasion, les autres sont neufs. Certains ont un moteur diesel, les autres un moteur essence.
Parmi les véhicules d’occasion, 25%25\% ont un moteur diesel.
Parmi les véhicules neufs, 30%30\% ont un moteur essence.
On choisit au hasard le dossier d’un véhicule vendu cette année. On note :
  • NN : " Le véhicule est neuf ".
  • DD : " C’est un véhicule diesel ".
1

Compléter l’arbre de probabilité ci-dessus.

Correction
2

Décrire par une phrase l’événement NDN\cap D puis calculer sa probabilité.

Correction
3

Montrer que p(D)=0,43p\left(D\right) = 0,43 .

Correction
4

On choisit au hasard un véhicule diesel. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit neuf?

Correction
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