Probabilités conditionnelles

Pour bien appréhender les probabilités conditionnelles - Exercice 4

15 min
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L'arbre pondéré ci-dessous représente une situation de probabilité.
Question 1
L'arbre est incomplet.

Compléter les valeurs manquantes dans l'arbre pondéré.

Correction
Question 2

Préciser les valeurs de P(A)P \left(A\right) ; PA(B)P_{A} \left(B\right) et PA(B)P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)

Correction
D'après l'arbre ci-dessus, nous pouvons lire que :
  • P(A)=0,77P \left(A\right)=0,77
  • PA(B)=0,55P_{A} \left(B\right)=0,55
  • PA(B)=0,65P_{\overline{A}} \left(\overline{B}\right)=0,65
  • Question 3

    A l'aide de l'arbre, calculer P(AB)P\left(A\cap B\right) .

    Correction
    L'évènement ABA\cap B correspond à l'évènement AA et{\color{blue}{\text{et}}} à l’événement BB.
    P(AB)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)
    P(AB)=0,77×0,55P\left(A\cap B\right)=0,77\times 0,55
    P(AB)=0,4235P\left(A\cap B\right)=0,4235
    Question 4

    A l'aide de l'arbre, calculer P(AB)P\left(\overline{A}\cap B\right) .

    Correction
    L'évènement AB\overline{A}\cap B correspond à l'évènement A\overline{A} et{\color{blue}{\text{et}}} à l’événement BB.
    P(AB)=P(A)×PA(B)P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(B\right)
    P(AB)=0,23×0,35P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,23\times 0,35
    P(AB)=0,0805P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,0805
    Question 5

    En déduire P(B)P\left(B\right) .

    Correction
    AA et A\overline{A} forment une partition de l'univers.
    D'après la formule des probabilités totales on a :
    P(B)=P(AB)+P(AB)P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)
    D'après les questions précédentes, nous savons que : P(AB)=0,4235P\left(A\cap B\right)=0,4235 et P(AB)=0,0805P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,0805
    Soit : P(B)=0,4235+0,0805P\left(B\right)=0,4235+0,0805
    Ainsi :
    P(B)=0,504P\left(B\right)=0,504

    Question 6

    Calculer PB(A)P_{B} \left(A\right) .

    Correction
    • PB(A)=P(AB)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    Il s'agit d'une probabilité conditionnelle dont la formule est rappelée dans l'encadré. Il vient alors que :
    PB(A)=P(AB)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    D'après les questions précédentes, nous avons vu que : P(AB)=0,4235P\left(A\cap B\right)=0,4235 et P(B)=0,504P\left(B\right)=0,504 . Il vient alors que :
    PB(A)=0,42350,504P_{B} \left(A\right)=\frac{0,4235}{0,504}
    PB(A)0,84P_{B} \left(A\right)\approx 0,84