Exercices types : 2^ème partie - Exercice 1

La probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier $$A$$ $$\color{blue}et$$ possède un défaut de fabrication est notée : $$\color{blue}P(A \cap D).$$
Or à l'aide de l'arbre pondérée ci-dessus, on a : $$P(A \cap D)=P({A})\times{P_{A} \left(D\right)}$$
$$P(A \cap D)=0,06\times0,05$$
$$\color{blue}\boxed{P(A \cap D)=0,03}$$
ON en déduit donc que la probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier $$A$$ et possède un défaut de fabrication est de $$\color{blue}3\%$$

. La probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est $$P(D).$$
Les évènements $$A$$ et $$B$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
$$P\left(D\right)=P\left(A \cap D\right)+P\left(B \cap D\right)$$ équivaut successivement à :
$$P\left(D\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(D\right)+P\left(B\right)\times P_{B} \left(D\right)$$
$$P\left(D\right)=0,6\times 0,05+0,4\times 0,025$$
$$P\left(D\right)=0,03+0,01$$
Ainsi :

La probabilité qu’il possède un défaut sachant qu’il provient l’atelier B est notée $$P_{B}(D).$$
Il s'agit ici d'une forme avec un "sachant" c'est-à-dire une probabilité conditionnelle.
$$P_{B} \left(D\right)=\frac{P\left(D\cap B\right)}{P\left(B\right)}$$
$$P_{B} \left(D\right)=\frac{0,01}{0,4}$$

On peut donner l'arbre de probabilité complet ci-dessous :

. Les paramètres de cette loi binomiale sont $$n = 25$$ et $$p = 0,04.$$

La probabilité demandée ici est celle de $$P\left(X=0\right)$$ :
Avec une calculatrice Texas, pour $$P\left(X=0\right)$$ on tape :
2^nd - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp($$25$$, $$0.04$$ , $$0$$) puis on tape sur enter et on obtient :
arrondi à $$10^{-3}$$ près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.

Avec une calculatrice Casio Graph 35+ ou modèle supérieur, pour $$P\left(X=0\right)$$ on tape :
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
On remplit le tableau de la manière qui suit :

puis on tape sur EXE et on obtient :
arrondi à $$10^{-3}$$ près.
Cette probabilité est ici inférieur à $$0.5$$, on peut donc en déduire que le directeur n’a pas raison.