Evènements indépendants - Exercice 3

D'après l'arbre pondéré, nous pouvons lire que $$P\left(A\right)=0,8$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)$$
$$P\left(A\cap B\right)=0,8\times 0,75$$
Ainsi :
$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(B\right)$$
$$P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,2\times 0,9$$
Ainsi :

$$A$$ et $$B$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
$$P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)$$
D'après la question précédente, nous savons que : $$P\left(A\cap B\right)=0,6$$ et $$P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,18$$
Soit : $$P\left(B\right)=0,6+0,18$$
Ainsi :

Nous savons que : $$P\left(A\cap B\right)=0,6$$ ; $$P\left(A\right)=0,8$$ et $$P\left(B\right)=0,78$$
Ainsi :
$$P\left(A\right)\times P\left(B\right)=0,8\times 0,78$$
$$P\left(A\right)\times P\left(B\right)=0,624$$
Finalement : $$P\left(A\right)\times P\left(B\right)\ne P\left(A\cap B\right)$$
Les événements $$A$$ et $$B$$ ne sont donc pas indépendants .