Evènements indépendants - Exercice 3

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On considère l'arbre pondéré ci-dessous :
Question 1

Donner la probabilité de l’événement AA.

Correction
D'après l'arbre pondéré, nous pouvons lire que P(A)=0,8P\left(A\right)=0,8.
Question 2

Calculer P(A∩B)P\left(A\cap B\right) et P(A‾∩B)P\left(\overline{A}\cap B\right) .

Correction
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
P(A∩B)=P(A)×PA(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)
P(A∩B)=0,8×0,75P\left(A\cap B\right)=0,8\times 0,75
Ainsi :
P(A∩B)=0,6P\left(A\cap B\right)=0,6

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
P(A‾∩B)=P(A‾)×PA‾(B)P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(B\right)
P(A‾∩B)=0,2×0,9P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,2\times 0,9
Ainsi :
P(A‾∩B)=0,18P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,18
Question 3

En déduire la valeur de P(B)P\left( B\right) .

Correction
AA et BB forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P(B)=P(A∩B)+P(A‾∩B)P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)
D'après la question précédente, nous savons que : P(A∩B)=0,6P\left(A\cap B\right)=0,6 et P(A‾∩B)=0,18P\left(\overline{A}\cap B\right)=0,18
Soit : P(B)=0,6+0,18P\left(B\right)=0,6+0,18
Ainsi :
P(B)=0,78P\left(B\right)=0,78

Question 4

Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?

Correction
    Deux événements AA et BB sont indépendants si et seulement si :
  • P(A∩B)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
Nous savons que : P(A∩B)=0,6P\left(A\cap B\right)=0,6 ; P(A)=0,8P\left(A\right)=0,8 et P(B)=0,78P\left(B\right)=0,78
Ainsi :
P(A)×P(B)=0,8×0,78P\left(A\right)\times P\left(B\right)=0,8\times 0,78
P(A)×P(B)=0,624P\left(A\right)\times P\left(B\right)=0,624
Finalement : P(A)×P(B)≠P(A∩B)P\left(A\right)\times P\left(B\right)\ne P\left(A\cap B\right)
Les événements AA et BB ne sont donc pas indépendants .

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