Résoudre une équation de la forme ax=ba^{x}=b - Exercice 1

12 min
30
Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes. Il faudra la valeur exacte puis la valeur approchée à 10−210^{-2} près.
Question 1

2x=3212^{x} =321

Correction
2x=3212^{x} =321 équivaut successivement à :
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(2x)=log⁡(321)\log \left(2^{x} \right)=\log \left(321\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • xlog⁡(2)=log⁡(321)x\log \left(2\right)=\log \left(321\right)
    D'où :
    x=log⁡(321)log⁡(2)x=\frac{\log \left(321\right)}{\log \left(2\right)}
    valeur exacte \red{\text{valeur exacte }}
    Or : log⁡(321)log⁡(2)≈8,33\frac{\log \left(321\right)}{\log \left(2\right)} \approx 8,33
    Ainsi :
    x≈8,33x\approx 8,33
    valeur approcheˊe aˋ \red{\text{valeur approchée à }} 10−2\red{10^{-2}} preˋs \red{\text{près }}
    Question 2

    5x=9655^{x} =965

    Correction
    5x=9655^{x} =965 équivaut successivement à :
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(5x)=log⁡(965)\log \left(5^{x} \right)=\log \left(965\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • xlog⁡(5)=log⁡(965)x\log \left(5\right)=\log \left(965\right)
    D'où :
    x=log⁡(965)log⁡(5)x=\frac{\log \left(965\right)}{\log \left(5\right)}
    valeur exacte \red{\text{valeur exacte }}
    Or : log⁡(965)log⁡(5)≈4,269\frac{\log \left(965\right)}{\log \left(5\right)} \approx 4,269
    Ainsi :
    x≈4,27x\approx 4,27
    valeur approcheˊe aˋ \red{\text{valeur approchée à }} 10−2\red{10^{-2}} preˋs \red{\text{près }}
    Question 3

    6x=2896^{x} =289

    Correction
    6x=2896^{x} =289 équivaut successivement à :
  • A=B⇔log⁡(A)=log⁡(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
    • log⁡(6x)=log⁡(289)\log \left(6^{x} \right)=\log \left(289\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • xlog⁡(6)=log⁡(289)x\log \left(6\right)=\log \left(289\right)
    D'où :
    x=log⁡(289)log⁡(6)x=\frac{\log \left(289\right)}{\log \left(6\right)}
    valeur exacte \red{\text{valeur exacte }}
    Or : log⁡(289)log⁡(6)≈3,162\frac{\log \left(289\right)}{\log \left(6\right)} \approx 3,162
    Ainsi :
    x≈3,16x\approx 3,16
    valeur approcheˊe aˋ \red{\text{valeur approchée à }} 10−2\red{10^{-2}} preˋs \red{\text{près }}

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.