Fonction logarithme décimal

Résoudre une équation de la forme ax=ba^{x}=b - Exercice 1

12 min
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Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes. Il faudra la valeur exacte puis la valeur approchée à 10210^{-2} près.
Question 1

2x=3212^{x} =321

Correction
2x=3212^{x} =321 équivaut successivement à :
  • A=Blog(A)=log(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
  • log(2x)=log(321)\log \left(2^{x} \right)=\log \left(321\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log(xn)=nlog(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • xlog(2)=log(321)x\log \left(2\right)=\log \left(321\right)
    D'où :
    x=log(321)log(2)x=\frac{\log \left(321\right)}{\log \left(2\right)}
    valeur exacte \red{\text{valeur exacte }}
    Or : log(321)log(2)8,33\frac{\log \left(321\right)}{\log \left(2\right)} \approx 8,33
    Ainsi :
    x8,33x\approx 8,33
    valeur approcheˊaˋ \red{\text{valeur approchée à }} 102\red{10^{-2}} preˋ\red{\text{près }}
    Question 2

    5x=9655^{x} =965

    Correction
    5x=9655^{x} =965 équivaut successivement à :
  • A=Blog(A)=log(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
  • log(5x)=log(965)\log \left(5^{x} \right)=\log \left(965\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log(xn)=nlog(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • xlog(5)=log(965)x\log \left(5\right)=\log \left(965\right)
    D'où :
    x=log(965)log(5)x=\frac{\log \left(965\right)}{\log \left(5\right)}
    valeur exacte \red{\text{valeur exacte }}
    Or : log(965)log(5)4,269\frac{\log \left(965\right)}{\log \left(5\right)} \approx 4,269
    Ainsi :
    x4,27x\approx 4,27
    valeur approcheˊaˋ \red{\text{valeur approchée à }} 102\red{10^{-2}} preˋ\red{\text{près }}
    Question 3

    6x=2896^{x} =289

    Correction
    6x=2896^{x} =289 équivaut successivement à :
  • A=Blog(A)=log(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
  • log(6x)=log(289)\log \left(6^{x} \right)=\log \left(289\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log(xn)=nlog(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • xlog(6)=log(289)x\log \left(6\right)=\log \left(289\right)
    D'où :
    x=log(289)log(6)x=\frac{\log \left(289\right)}{\log \left(6\right)}
    valeur exacte \red{\text{valeur exacte }}
    Or : log(289)log(6)3,162\frac{\log \left(289\right)}{\log \left(6\right)} \approx 3,162
    Ainsi :
    x3,16x\approx 3,16
    valeur approcheˊaˋ \red{\text{valeur approchée à }} 102\red{10^{-2}} preˋ\red{\text{près }}