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Fonction logarithme décimal
Résoudre une équation de la forme
a
x
=
b
a^{x}=b
a
x
=
b
- Exercice 1
12 min
30
Résoudre dans
R
\mathbb{R}
R
les équations suivantes. Il faudra la valeur exacte puis la valeur approchée à
1
0
−
2
10^{-2}
1
0
−
2
près.
Question 1
2
x
=
321
2^{x} =321
2
x
=
321
Correction
2
x
=
321
2^{x} =321
2
x
=
321
équivaut successivement à :
A
=
B
⇔
log
(
A
)
=
log
(
B
)
A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
A
=
B
⇔
lo
g
(
A
)
=
lo
g
(
B
)
log
(
2
x
)
=
log
(
321
)
\log \left(2^{x} \right)=\log \left(321\right)
lo
g
(
2
x
)
=
lo
g
(
321
)
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
x
log
(
2
)
=
log
(
321
)
x\log \left(2\right)=\log \left(321\right)
x
lo
g
(
2
)
=
lo
g
(
321
)
D'où :
x
=
log
(
321
)
log
(
2
)
x=\frac{\log \left(321\right)}{\log \left(2\right)}
x
=
lo
g
(
2
)
lo
g
(
321
)
valeur exacte
\red{\text{valeur exacte }}
valeur exacte
Or :
log
(
321
)
log
(
2
)
≈
8
,
33
\frac{\log \left(321\right)}{\log \left(2\right)} \approx 8,33
lo
g
(
2
)
lo
g
(
321
)
≈
8
,
33
Ainsi :
x
≈
8
,
33
x\approx 8,33
x
≈
8
,
33
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
\red{\text{valeur approchée à }}
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
1
0
−
2
\red{10^{-2}}
1
0
−
2
pr
e
ˋ
s
\red{\text{près }}
pr
e
ˋ
s
Question 2
5
x
=
965
5^{x} =965
5
x
=
965
Correction
5
x
=
965
5^{x} =965
5
x
=
965
équivaut successivement à :
A
=
B
⇔
log
(
A
)
=
log
(
B
)
A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
A
=
B
⇔
lo
g
(
A
)
=
lo
g
(
B
)
log
(
5
x
)
=
log
(
965
)
\log \left(5^{x} \right)=\log \left(965\right)
lo
g
(
5
x
)
=
lo
g
(
965
)
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
x
log
(
5
)
=
log
(
965
)
x\log \left(5\right)=\log \left(965\right)
x
lo
g
(
5
)
=
lo
g
(
965
)
D'où :
x
=
log
(
965
)
log
(
5
)
x=\frac{\log \left(965\right)}{\log \left(5\right)}
x
=
lo
g
(
5
)
lo
g
(
965
)
valeur exacte
\red{\text{valeur exacte }}
valeur exacte
Or :
log
(
965
)
log
(
5
)
≈
4
,
269
\frac{\log \left(965\right)}{\log \left(5\right)} \approx 4,269
lo
g
(
5
)
lo
g
(
965
)
≈
4
,
269
Ainsi :
x
≈
4
,
27
x\approx 4,27
x
≈
4
,
27
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
\red{\text{valeur approchée à }}
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
1
0
−
2
\red{10^{-2}}
1
0
−
2
pr
e
ˋ
s
\red{\text{près }}
pr
e
ˋ
s
Question 3
6
x
=
289
6^{x} =289
6
x
=
289
Correction
6
x
=
289
6^{x} =289
6
x
=
289
équivaut successivement à :
A
=
B
⇔
log
(
A
)
=
log
(
B
)
A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
A
=
B
⇔
lo
g
(
A
)
=
lo
g
(
B
)
log
(
6
x
)
=
log
(
289
)
\log \left(6^{x} \right)=\log \left(289\right)
lo
g
(
6
x
)
=
lo
g
(
289
)
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
x
log
(
6
)
=
log
(
289
)
x\log \left(6\right)=\log \left(289\right)
x
lo
g
(
6
)
=
lo
g
(
289
)
D'où :
x
=
log
(
289
)
log
(
6
)
x=\frac{\log \left(289\right)}{\log \left(6\right)}
x
=
lo
g
(
6
)
lo
g
(
289
)
valeur exacte
\red{\text{valeur exacte }}
valeur exacte
Or :
log
(
289
)
log
(
6
)
≈
3
,
162
\frac{\log \left(289\right)}{\log \left(6\right)} \approx 3,162
lo
g
(
6
)
lo
g
(
289
)
≈
3
,
162
Ainsi :
x
≈
3
,
16
x\approx 3,16
x
≈
3
,
16
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
\red{\text{valeur approchée à }}
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
1
0
−
2
\red{10^{-2}}
1
0
−
2
pr
e
ˋ
s
\red{\text{près }}
pr
e
ˋ
s