Exercices types : 1^ère partie - Exercice 1

Nous avons $$f\left(x\right)=4x+2+\frac{\red{16}}{x}$$ alors :

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=4-\frac{16}{x^{2} }$$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
$$f'\left(x\right)=\frac{4}{1} -\frac{16}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{4\times x^{2} }{x^{2} } -\frac{16}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{4x^{2} -16}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left({\color{blue}{2x}}\right)^{2} -{\color{red}{4}}^{2} }{x^{2} }$$ . Ici on fait apparaître une identité remarquable afin de factoriser le numérateur.
Ainsi :

$$\red{\text{Premièrement}}$$

Le dénominateur $$x^{2}$$ s'annule pour $$x=0$$ qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur $$\mathbb{R^{*}}$$ . Le signe de $$x^{2}$$ est alors strictement positif. Donc le signe de $$f\left(x\right)$$ ne dépend alors que de son numérateur $$2\left(x+4\right)\left(x-5\right)$$ . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur $$0$$ .

$$\red{\text{Deuxièmement :}}$$

$$2x-4=0\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=\frac{4}{2}\Leftrightarrow x=2$$
Soit $$x\mapsto 2x-4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x-4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Troisièmement :}}$$

$$2x+4=0\Leftrightarrow 2x=-4\Leftrightarrow x=\frac{-4}{2}\Leftrightarrow x=-2$$
Soit $$x\mapsto 2x+4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x+4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe de $$f'\left(x\right)$$ est alors :

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$.
$$1$$^ère étape : calculer $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=4\times 1+2+\frac{16}{1}$$
$$f\left(1\right)=22$$
$$2$$^ème étape : calculer $$f'\left(1\right)$$
$$f'\left(1\right)=\frac{4\times 1^{2} -16}{1^{2} }$$
$$f'\left(1\right)=-12$$
$$3$$^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=\left(-12\right)\times \left(x-1\right)+22$$
$$y=-12x+12+22$$
$$y=-12x+24$$
Ainsi l'équation de la tangente à courbe représentative de $$f$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=-12x+34$$.