Etudier le signe d'un quotient de la forme $\frac{a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)}{x^{2} } $ - Fonction inverse - ST2S

Question 1

$f\left(x\right)=\frac{2\left(x+4\right)\left(x-5\right)}{x^{2}}$ sur $\mathbb{R^{*}}$ .

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :

on identifie la valeur interdite .
On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{Premièrement}}

Le dénominateur

x^{2}

s'annule pour

x=0

qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur

\mathbb{R^{*}}

. Le signe de

x^{2}

est alors strictement positif. Donc le signe de

f\left(x\right)

ne dépend alors que de son numérateur

2\left(x+4\right)\left(x-5\right)

. Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur

0

.

\red{\text{Deuxièmement :}}

x+4=0\Leftrightarrow x=-4

Soit

x\mapsto x+4

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x+4$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-4$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Troisièmement :}}

x-5=0\Leftrightarrow x=5

Soit

x\mapsto x-5

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-5$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=5$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Enfin :}}

2

est strictement positif. On mettra que le signe

\left(+\right)

dans la ligne de

2

.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

Question 2

$f\left(x\right)=\frac{-7\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^{2}}$ sur $\mathbb{R^{*}}$ .

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :

on identifie la valeur interdite .
On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{Premièrement}}

Le dénominateur

x^{2}

s'annule pour

x=0

qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur

\mathbb{R^{*}}

. Le signe de

x^{2}

est alors strictement positif. Donc le signe de

f\left(x\right)

ne dépend alors que de son numérateur

-7\left(x-1\right)\left(x+1\right)

. Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur

0

.

\red{\text{Deuxièmement :}}

x-1=0\Leftrightarrow x=1

Soit

x\mapsto x-1

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-1$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=1$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Troisièmement :}}

x+1=0\Leftrightarrow x=-1

Soit

x\mapsto x+1

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x+1$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-1$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Enfin :}}

-7

est strictement négatif. On mettra que le signe

\left(-\right)

dans la ligne de

-7

.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

Question 3

$f\left(x\right)=\frac{8\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x^{2}}$ sur $\mathbb{R^{*}}$ .

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :

on identifie la valeur interdite .
On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{Premièrement}}

Le dénominateur

x^{2}

s'annule pour

x=0

qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur

\mathbb{R^{*}}

. Le signe de

x^{2}

est alors strictement positif. Donc le signe de

f\left(x\right)

ne dépend alors que de son numérateur

8\left(x-5\right)\left(x+5\right)

. Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur

0

.

\red{\text{Deuxièmement :}}

x-5=0\Leftrightarrow x=5

Soit

x\mapsto x-5

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-5$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=5$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Troisièmement :}}

x+5=0\Leftrightarrow x=-5

Soit

x\mapsto x+5

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x+5$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-5$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Enfin :}}

8

est strictement positif. On mettra que le signe

\left(+\right)

dans la ligne de

8

.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

Question 4

$f\left(x\right)=\frac{-3\left(x+7\right)\left(x-7\right)}{x^{2}}$ sur $\mathbb{R^{*}}$ .

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :

on identifie la valeur interdite .
On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{Premièrement}}

Le dénominateur

x^{2}

s'annule pour

x=0

qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur

\mathbb{R^{*}}

. Le signe de

x^{2}

est alors strictement positif. Donc le signe de

f\left(x\right)

ne dépend alors que de son numérateur

-3\left(x+7\right)\left(x-7\right)

. Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur

0

.

\red{\text{Deuxièmement :}}

x+7=0\Leftrightarrow x=-7

Soit

x\mapsto x+7

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x+7$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-7$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Troisièmement :}}

x-7=0\Leftrightarrow x=7

Soit

x\mapsto x-7

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-7$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=7$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Enfin :}}

-3

est strictement négatif. On mettra que le signe

\left(-\right)

dans la ligne de

-3

.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

Etudier le signe d'un quotient de la forme a(x−x1)(x−x2)x2\frac{a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)}{x^{2} } x2a(x−x1​)(x−x2​)​ - Exercice 1

f(x)=2(x+4)(x−5)x2f\left(x\right)=\frac{2\left(x+4\right)\left(x-5\right)}{x^{2}}f(x)=x22(x+4)(x−5)​ sur R∗\mathbb{R^{*}}R∗ .

f(x)=−7(x−1)(x+1)x2f\left(x\right)=\frac{-7\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^{2}}f(x)=x2−7(x−1)(x+1)​ sur R∗\mathbb{R^{*}}R∗ .

f(x)=8(x−5)(x+5)x2f\left(x\right)=\frac{8\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x^{2}}f(x)=x28(x−5)(x+5)​ sur R∗\mathbb{R^{*}}R∗ .

f(x)=−3(x+7)(x−7)x2f\left(x\right)=\frac{-3\left(x+7\right)\left(x-7\right)}{x^{2}}f(x)=x2−3(x+7)(x−7)​ sur R∗\mathbb{R^{*}}R∗ .

Etudier le signe d'un quotient de la forme $\frac{a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)}{x^{2} }$ - Exercice 1

$f\left(x\right)=\frac{2\left(x+4\right)\left(x-5\right)}{x^{2}}$ sur $\mathbb{R^{*}}$ .

$f\left(x\right)=\frac{-7\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^{2}}$ sur $\mathbb{R^{*}}$ .

$f\left(x\right)=\frac{8\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x^{2}}$ sur $\mathbb{R^{*}}$ .

$f\left(x\right)=\frac{-3\left(x+7\right)\left(x-7\right)}{x^{2}}$ sur $\mathbb{R^{*}}$ .