Fonction inverse

Etudier le signe d'un produit de la forme a(xx1)(xx2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right) - Exercice 1

15 min
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Question 1
Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :

f(x)=2(x+4)(x5)f\left(x\right)=2\left(x+4\right)\left(x-5\right) sur R\mathbb{R} .

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x+4=0x=4x+4=0\Leftrightarrow x=-4
    Soit xx+4x\mapsto x+4 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+4x+4 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=-4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x5=0x=5x-5=0\Leftrightarrow x=5
    Soit xx5x\mapsto x-5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x5x-5 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 22 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 22.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=6(x3)(x+1)f\left(x\right)=6\left(x-3\right)\left(x+1\right) sur R\mathbb{R} .

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x3=0x=3x-3=0\Leftrightarrow x=3
    Soit xx3x\mapsto x-3 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x3x-3 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x+1=0x=1x+1=0\Leftrightarrow x=-1
    Soit xx+1x\mapsto x+1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+1x+1 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=-1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 66 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 66.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 3

    f(x)=2(x+8)(x9)f\left(x\right)=-2\left(x+8\right)\left(x-9\right) sur R\mathbb{R} .

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

    f(x)=2(x+8)(x9)f\left(x\right)=-2\left(x+8\right)\left(x-9\right)
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x+8=0x=8x+8=0\Leftrightarrow x=-8
    Soit xx+8x\mapsto x+8 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+8x+8 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=8x=-8 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x9=0x=9x-9=0\Leftrightarrow x=9
    Soit xx9x\mapsto x-9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x9x-9 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=9x=9 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 2-2 est strictement négatif. On mettra que le signe ()\left(-\right) dans la ligne de 2-2.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 4

    f(x)=7(x5)(x3)f\left(x\right)=7\left(x-5\right)\left(x-3\right) sur R\mathbb{R} .

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x5=0x=5x-5=0\Leftrightarrow x=5
    Soit xx5x\mapsto x-5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x5x-5 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x3=0x=3x-3=0\Leftrightarrow x=3
    Soit xx3x\mapsto x-3 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x3x-3 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 77 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 77.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :