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Fonction inverse

Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse aa - Exercice 1

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Pour les fonctions suivantes déterminer une équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse aa.
Question 1

f(x)=3+2x  ;  a=1f\left(x\right)=3+\frac{2}{x}\; ; \;a=1

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=1a=1, ce qui donne, y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right).
  • 1\red{1}eˋre\red{\text{ère}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer la dérivée de ff
  • f(x)=2x2f'\left(x\right)=-\frac{2}{x^{2}}
  • 2\red{2}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(1)f\left(1\right)
  • f(1)=3+21f\left(1\right)=3+\frac{2}{1}
    f(1)=5f\left(1\right)=5
  • 3\red{3}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(1)f'\left(1\right)
  • f(1)=212f'\left(1\right)=-\frac{2}{1^{2}}
    f(1)=2f'\left(1\right)=-2
  • 4\red{4}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} on remplace les valeurs de f(1)f\left(1\right) et de f(1)f'\left(1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
  • On sait que :
    y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
    y=(2)×(x1)+5y=\left(-2\right)\times \left(x-1\right)+5
    y=2x+2+5y=-2x+2+5
    y=2x+7y=-2x+7

    Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11 est alors y=2x+7y=-2x+7.
    Question 2

    f(x)=3x+4x  ;  a=2f\left(x\right)=3x+\frac{4}{x}\; ; \;a=2

    Correction
    L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
    Ici a=2a=2, ce qui donne, y=f(2)(x2)+f(2)y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right).
  • 1\red{1}eˋre\red{\text{ère}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer la dérivée de ff
  • f(x)=34x2f'\left(x\right)=3-\frac{4}{x^{2}}
  • 2\red{2}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(2)f\left(2\right)
  • f(2)=3×2+42f\left(2\right)=3\times2+\frac{4}{2}
    f(2)=6+2f\left(2\right)=6+2
    f(2)=8f\left(2\right)=8
  • 3\red{3}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(2)f'\left(2\right)
  • f(2)=3422f'\left(2\right)=3-\frac{4}{2^{2}}
    f(2)=344f'\left(2\right)=3-\frac{4}{4}
    f(2)=31f'\left(2\right)=3-1
    f(2)=2f'\left(2\right)=2
  • 4\red{4}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} on remplace les valeurs de f(2)f\left(2\right) et de f(2)f'\left(2\right) dans la formule de l'équation de tangente.
  • On sait que :
    y=f(2)(x2)+f(2)y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)
    y=2×(x2)+8y=2\times \left(x-2\right)+8
    y=2×x+2×(2)+8y=2\times x+2\times \left(-2\right)+8
    y=2x4+8y=2x-4+8
    y=2x+4y=2x+4

    Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 22 est alors y=2x+4y=2x+4.