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Pourcentages avec augmentation et diminution - Exercice 4

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Question 1

Un prix augmente de 25%25\%. Quel devra être le taux du pourcentage d'évolution réciproque pour que cette action retrouve son prix initial.

Correction
  • Soient V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur, V1V_{1} la valeur de cette grandeur après une évolution relative de t%t\%.
  • Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une évolution t%t\% .
  • Pour déterminer la valeur du taux réciproque t′%t'\%, il nous faut résoudre l'équation :
    1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }
Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une augmentation de 25%25\%.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 25%25\% est : 1+251001+\frac{25}{100}
    • Pour trouver la valeur de t′%t'\%, il nous faut donc résoudre l'équation : 1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }.
    Ainsi :
    1+t′100=11+251001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{25}{100} }
    1+t′100=11+0,251+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+0,25 }
    1+t′100=11,251+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1,25 }
    1+t′100=0,81+\frac{t'}{100} =0,8
    t′100=0,8−1\frac{t'}{100} =0,8-1
    t′100=−0,2\frac{t'}{100} =-0,2
    t′=−0,2×100t' =-0,2\times100
    t′=−20%t' =-20\%

    Si un prix augmente de 25%25\% alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une baisse de 20%20\%.
    Question 2

    Le cours d’une action a baissé de 60%60\%. Quel doit être le taux d’augmentation pour que cette action retrouve son cours initial?

    Correction
    • Soient V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur, V1V_{1} la valeur de cette grandeur après une évolution relative de t%t\%.
    • Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une évolution t%t\% .
    • Pour déterminer la valeur du taux réciproque t′%t'\%, il nous faut résoudre l'équation :
      1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }
    Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une diminution de 60%60\%.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de 60%60\% est : 1−601001-\frac{60}{100}
    • Pour trouver la valeur de t′%t'\%, il nous faut donc résoudre l'équation : 1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }.
    Ainsi :
    1+t′100=11−601001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-\frac{60}{100} } . Ici nous faisons bien 1−601001-\frac{60}{100} au dénominateur car nous avons une baisse de 60%60\%.
    1+t′100=11−0,61+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-0,6 }
    1+t′100=10,41+\frac{t'}{100} =\frac{1}{0,4 }
    1+t′100=2,51+\frac{t'}{100} =2,5
    t′100=2,5−1\frac{t'}{100} =2,5-1
    t′100=1,5\frac{t'}{100} =1,5
    t′=1,5×100t' =1,5\times100
    t′=150%t' =150\%

    Le cours d’une action a baissé de 60%60\%, le taux d’augmentation pour que cette action retrouve son cours initial est alors une augmentation de 150%150\%.