Automatismes

Fonctions affines - Exercice 2

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Question 1
Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction affine ff puis donner son sens de variation.

f(2)=6f\left(2\right)=-6 et f(8)=18f\left(8\right)=18.

Correction
ff est une fonction affine d’où pour tout réel xx, on a : f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=f(2)f(8)28a=\frac{f\left(2 \right)-f\left(8 \right)}{2-8 }
a=61828a=\frac{-6-18}{2-8 }
a=246a=\frac{-24}{-6 }
a=4a=4

Ainsi : f(x)=4x+bf\left(x\right)=4x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que f(8)=18f\left(8\right)=18 et comme f(x)=4x+bf\left(x\right)=4x+b, il en résulte donc que :
4×8+b=184\times8+b=18 équivaut successivement à :
32+b=1832+b=18
b=1832b=18-32
b=14b=-14

Finalement, ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=4x14f\left(x\right)=4x-14.

Si aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=4>0a=4>0. Il en résulte donc que la fonction x4x14x\mapsto 4x-14 est une fonction croissante.

Question 2

f(1)=4f\left(1\right)=4 et f(2)=1f\left(2\right)=-1.

Correction
ff est une fonction affine d’où pour tout réel xx, on a : f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=f(1)f(2)12a=\frac{f\left(1 \right)-f\left(2 \right)}{1-2 }
a=4(1)12a=\frac{4-\left(-1\right)}{1-2 }
a=51a=\frac{5}{-1 }
a=5a=-5

Ainsi : f(x)=5x+bf\left(x\right)=-5x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que f(1)=4f\left(1\right)=4 et comme f(x)=5x+bf\left(x\right)=-5x+b, il en résulte donc que :
5×1+b=4-5\times1+b=4 équivaut successivement à :
5+b=4-5+b=4
b=4+5b=4+5
b=9b=9

Finalement, ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=5x+9f\left(x\right)=-5x+9.

Si aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=5<0a=-5<0. Il en résulte donc que la fonction x5x+9x\mapsto -5x+9 est une fonction décroissante.
Question 3
Trouver la fonction affine ff dont la représentation graphique passe par les points AA et BB donnés.

A(4;9)A\left(4;9\right) et B(7;12)B\left(7;12\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yByAxBxAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=12974a=\frac{12-9}{7-4 }
a=33a=\frac{3}{3}
a=1a=1

Ainsi : f(x)=x+bf\left(x\right)=x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point A(4;9)A\left(4;9\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xA)=xA+bf\left(x_{A}\right)=x_{A}+b ou encore yA=xA+by_{A}=x_{A}+b.
Il vient alors que :
9=4+b9=4+b équivaut successivement à :
4+b=94+b=9
b=94b=9-4
b=5b=5

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=x+5y=x+5