Théorème des gendarmes - Exercice 2

Pour tout entier naturel $$n\ge 2$$, on a :
$$-1\le (-1)^{n} \le 1$$ équivaut successivement à :
$$n^{2} -1\le n^{2} +(-1)^{n} \le n^{2} +1$$ , nous allons composer par la fonction inverse qui ne conserve pas l'ordre de l'inégalité
$$\frac{1}{n^{2} -1} \ge \frac{1}{n^{2} +(-1)^{n} } \ge \frac{1}{n^{2} +1}$$
$$\frac{1}{n^{2} +1} \le \frac{1}{n^{2} +(-1)^{n} } \le \frac{1}{n^{2} -1}$$ , on multiplie par $$n$$ ensuite,
$$\frac{n}{n^{2} +1} \le \frac{n}{n^{2} +(-1)^{n} } \le \frac{n}{n^{2} -1}$$ , on rajoute $$3$$ à chaque membre
$$\frac{n}{n^{2} +1} +3\le \frac{n}{n^{2} +(-1)^{n} } +3\le \frac{n}{n^{2} -1} +3$$
$$\frac{n}{n^{2} +1} +3\le u_{n} \le \frac{n}{n^{2} -1} +3$$, on finit par soustraire $$3$$ à chaque membre
$$\frac{n}{n^{2} +1} \le u_{n} -3\le \frac{n}{n^{2} -1}$$

D'une part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} +1}$$.
Pour calculer cette limite, nous factoriserons par $$n$$ au numérateur et par $$n^{2}$$ au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici $$n$$ et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici $$n^{2}$$.
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} +1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} \left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} +1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)} =0$$
Finalement : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} +1} =0$$
On effectue la même démarche pour calculer $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} -1}$$ et on obtiendra $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} -1} =0$$
Il vient alors que d'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} -3=0$$
On peut en conclure que $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =3$$