Théorème des gendarmes - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on sait que :
$$-1\le \cos \left(n\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+5\le 5+\cos \left(n\right)\le 5+1$$
$$4\le 5+\cos \left(n\right)\le 6$$ , on va ensuite diviser par $$n$$ qui est strictement positif
$$\frac{4}{n} \le \frac{5+\cos \left(n\right)}{n} \le \frac{6}{n}$$
$$\frac{4}{n} \le u_{n} \le \frac{6}{n}$$
D'une part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4}{n} =0$$
D'autre part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6}{n} =0$$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0$$

Pour tout entier naturel $$n$$, on sait que :
$$-1\le \sin \left(n\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$2\ge -2\sin \left(n\right)\ge -2$$ , on a multiplié par un négatif donc on change le sens de l'inégalité.
$$-2\le -2\sin \left(n\right)\le 2$$
$$1-2\le 1-2\sin \left(n\right)\le 1+2$$
$$-1\le 1-2\sin \left(n\right)\le 3$$ , on va ensuite diviser par $$n^{2} +1$$ qui est strictement positif
$$\frac{-1}{n^{2} +1} \le \frac{1-2\sin \left(n\right)}{n^{2} +1} \le \frac{3}{n^{2} +1} ,$$
$$\frac{-1}{n^{2} +1} \le u_{n} \le \frac{3}{n^{2} +1}$$
D'une part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{n^{2} +1} =0$$
D'autre part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{3}{n^{2} +1} =0$$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0$$

Pour tout entier naturel $$n$$non nul, on sait que :
$$-1\le \left(-1\right)^{n} \le 1$$ équivaut successivement à :
$$\frac{-1}{\sqrt{n} } \le \frac{\left(-1\right)^{n} }{\sqrt{n} } \le \frac{1}{\sqrt{n} }$$ , on va ensuite diviser par $$\sqrt{n}$$ qui est strictement positif
$$\frac{-1}{\sqrt{n} } +1\le \frac{\left(-1\right)^{n} }{\sqrt{n} } +1\le \frac{1}{\sqrt{n} } +1$$
$$\frac{-1}{\sqrt{n} } +1\le u_{n} \le \frac{1}{\sqrt{n} } +1$$
D'une part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{\sqrt{n} } +1=1$$
D'autre part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{n} } +1=1$$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1$$

Pour tout entier naturel $$n$$, on sait que :
$$-1\le \sin \left(n\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+n\le \sin \left(n\right)+n\le 1+n$$, on va ensuite diviser par $$2n+1$$ qui est strictement positif
$$\frac{-1+n}{2n+1} \le \frac{\sin \left(n\right)+n}{2n+1} \le \frac{1+n}{2n+1}$$
$$\frac{-1+n}{2n+1} \le u_{n} \le \frac{1+n}{2n+1}$$
D'une part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1}$$.
Pour calculer cette limite, nous factoriserons par $$n$$ au numérateur et par $$n$$ au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici $$n$$ et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici $$n$$.
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-1+n}{n} \right)}{n \left(\frac{2n+1}{n } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +\frac{n}{n} \right)}{n\left(\frac{2n}{n} +\frac{1}{n} \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +1\right)}{n\left(2+\frac{1}{n} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n$$ .
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{2+\frac{1}{n } }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{n} +1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\frac{1}{n} } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{2+\frac{1}{n} } =\frac{1}{2}$$
Finalement : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\frac{1}{2}$$
On effectue la même démarche pour calculer $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{2n+1}$$ et on obtiendra $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{2n+1} =\frac{1}{2}$$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\frac{1}{2}$$

Pour tout entier naturel $$n$$, on sait que :
$$-1\le \cos \left(3n\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+n\le \cos \left(3n\right)+n\le 1+n$$, on va ensuite diviser par $$n^{3} +2n+1$$ qui est strictement positif
$$\frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} \le \frac{\cos \left(3n\right)+n}{n^{3} +2n+1} \le \frac{1+n}{n^{3} +2n+1}$$
$$\frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} \le u_{n} \le \frac{1+n}{n^{3} +2n+1}$$
D'une part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1}$$.
Pour calculer cette limite, nous factoriserons par $$n$$ au numérateur et par $$n^{3}$$ au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici $$n$$ et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici $$n^{3}$$.
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-1+n}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{n^{3} +2n+1}{n^{3} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +\frac{n}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{n^{3} }{n^{3} } +\frac{2n}{n^{3} } +\frac{1}{n^{3} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +1\right)}{n^{3} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n$$ .
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{n^{2} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{n} +1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{n^{2} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)} =0$$
Finalement : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =0$$
On effectue la même démarche pour calculer $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{n^{3} +2n+1}$$ et on obtiendra $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{n^{3} +2n+1} =0$$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0$$

Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on sait que :
$$-1\le \sin \left(n\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$\frac{-1}{n+1} \le \frac{\sin \left(n\right)}{n+1} \le \frac{1}{n+1}$$ . On divise par $$n+1$$ qui est positif donc on ne change pas le sens de l'inégalité.
$$2+\frac{-1}{n+1} \le 2+\frac{\sin \left(n\right)}{n+1} \le2+\frac{1}{n+1}$$
$$2+\frac{-1}{n+1} \le u_{n} \le2+\frac{1}{n+1}$$
D'une part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\frac{-1}{n+1} =2$$ car $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{n+1} =0$$
D'autre part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\frac{1}{n+1} =2$$ car $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n+1} =0$$
D'après le théorème des gendarmes $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =2$$