Raisonnement par récurrence et limite d'une suite

Raisonnement par récurrence

Axiome de récurrence

Définition 1
Soit une propriété PP définie sur N\N. Si :
  • la propriété est initialisée à partir d’un certain rang n0n_{0}
  • la propriété est héréditaire à partir d’un certain rang n0n_{0} (c’est-à-dire que pour tout n≥n0n \geq n_{0}) alors P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1)

Alors : la propriété est vraie à partir du rang n0n_{0}

Exemple


Démontrer que, pour tout entier naturel, la suite (un)(u_{n}) est définie par : u0=1u_{0} = 1 et un+1=2+unu_{n}+1 = \sqrt{2 + u_{n}} est telle que 0<un<20 < u_{n} < 2
Initialisation
On a u0=1u_{0} = 1 donc 0<u0<20 < u_{0} < 2.
P(0)P(0) est vraie.
Hérédité
On suppose que 0<un<20 < u_{n} < 2, montrons que 0<un+1<20 < u_{n}+1 < 2.
La fonction ff définie par f(x)=x+2f(x) = \sqrt{x + 2} est croissante car composée de deux fonctions croissantes.
0<un<20 < u_{n} < 2 ⇔\Leftrightarrow f(0)<f(un)<f(2)f(0) < f(u_{n}) < f(2) ⇔\Leftrightarrow 2<un+1<2\sqrt{2} < u_{n}+1 < 2 ⇒\Rightarrow 0<un+1<20 < u_{n}+1 < 2
La proposition P(n)P(n) est héréditaire.
Conclusion
Par initialisation et hérédité, la proposition P(n)P(n) est vraie pour tout nn.

Limite d’une suite

Définition 2
On dit que la suite (un)(u_{n}) a pour limite ll si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant ll contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On note alors : lim⁡n→+∞un=l\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = l et l’on dit que la suite converge vers ll.
On dit que la suite (un)(u_{n}) a pour limite +∞+\infty (resp. −∞-\infty) si, et seulement si, tout intervalle ]A;+∞[]A;+\infty[ (resp. ]−∞;B[]-\infty;B[) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On note alors : lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = +\infty resp. lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = -\infty
On dit que la suite diverge vers +∞+\infty (resp. −∞-\infty).
Soit trois suites (un)(u_{n}), (vn)(v_{n}) et (wn)(w_{n}).
Si à partir d’un certain rang, on a :
Théorème d’encadrement ou "des gendarmes"
vn≤un≤wnv_{n} \leq u_{n} \leq w_{n} et si lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞wn=l\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n} = \lim\limits_{n \to +\infty} w_{n} = l alors lim⁡n→+∞un=l\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = l
a=b+ca = b +c


Théorème de comparaison
  • un≥vnu_{n} \geq v_{n} et si lim⁡n→+∞vn=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n} = +\infty alors lim⁡n→+∞nn=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} n_{n} = +\infty
  • un≤wnu_{n} \leq w_{n} et si lim⁡n→+∞wn=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} w_{n} = +\infty alors lim⁡n→+∞nn=−∞\lim\limits_{n \to +\infty} n_{n} = -\infty
Suites géométriques
Soit qq un réel.
On a les limites suivantes :
  • Si q>1q > 1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} q^{n} = +\infty
  • Si q=1q = 1 alors lim⁡n→+∞qn=1\lim\limits_{n \to +\infty} q^{n} = 1
  • Si −1<q<1−1 < q < 1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n \to +\infty} q^{n} = 0
  • Si q≤−1q \leq −1 alors lim⁡n→+∞qn\lim\limits_{n \to +\infty} q^{n} n'existe pas

Opérations sur les limites

Limite d’une somme

Si (un)(u_{n}) a pour limitellllll+∞+\infty−∞-\infty+∞+\infty
Si (vn)(v_{n}) a pour limitel′l'+∞+\infty−∞-\infty+∞+\infty−∞-\infty−∞-\infty
alors (un+vn)(u_{n} + v_{n}) a pour limitel+l′l + l'+∞+\infty−∞-\infty+∞+\infty−∞-\inftyF. Ind.

Limite d’un produit

Si (un)(u_{n}) a pour limitelll≠0l \ne 000∞\infty
Si (vn)(v_{n}) a pour limitel′l'∞\infty∞\infty∞\infty
alors (un×vn)(u_{n} \times v_{n}) a pour limitel×l′l \times l'∞\inftyF. Ind.∞\infty

Limite d’un quotient

Si (un)(u_{n}) a pour limitelll≠0l \ne 000ll∞\infty∞\infty
Si (vn)(v_{n}) a pour limitel′≠0l' \ne 00000∞\inftyl′l'∞\infty
alors (unvn)\left(\frac{u_{n}}{v_{n}}\right) a pour limitell′\frac{l}{l'}∞\inftyF. ind.0∞\inftyF. ind.

Convergence d’une suite monotone

Définition 3
On dit que la suite (un)(u_{n}) est majorée si, et seulement si, il existe un réel MM tel que :
∀n∈<br/>,un≤M\forall n \in <br /> , u_{n} \leq M
On dit que la suite (un)(u_{n}) est minorée si, et seulement si, il existe un réel mm tel que :
∀n∈<br/>,un≥m\forall n \in <br /> , u_{n} \geq m
Si (un)(u_{n}) est majorée et minorée, on dit que la suite est bornée.
Divergence
  • Si une suite (un)(u_{n}) est croissante et non majorée alors la suite (un)(u_{n}) diverge vers +∞+\infty.
  • Si une suite (un)(u_{n}) est décroissante et non minorée alors la suite (un)(u_{n}) diverge vers −∞-\infty.
Convergence
  • Si une suite (un)(u_{n}) est croissante et majorée alors la suite (un)(u_{n}) converge.
  • Si une suite (un)(u_{n}) est décroissante et minorée alors la suite (un)(u_{n}) converge.
Théorème du point fixe
Soit une suite (un)(u_{n}) définie par u0u_{0} et un+1=f(un)u_{n+1} = f(un) convergente vers ll.
Si la fonction associée ff est continue en ll, alors la limite de la suite ll est solution de l’équation f(x)=xf(x) = x.
Exemple
Calculer la limite de la suite (un) définie par u0 = 1 et un+1 = √2 + un.
On peut montrer par récurrence que la suite (un) est croissante et que pour tout
n, 0 6 un 6 2
La suite (un) est alors croissante et majorée par 2, elle est donc convergente vers
une limite l.
La fonction f telle que : f(x) = √2 + x est définie et continue sur ] − 2; +∞[.
Comme la suite (un) est convergente vers l, d’après le théorème du point fixe, l
verifie l’équation l = √2 + l.
En élevant au carré, on trouve : l2 − l − 2 = 0 qui admet deux solutions −1 et
2. Comme la suite (un) est positive, elle converge donc vers 2.