Limites de suites - Exercice 1

30 min
45
Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=2n2+n+1u_{n} =2n^{2} +n+1

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞2n2+n+1\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} +n+1
lim⁡n→+∞2n2=+∞lim⁡n→+∞n+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par addition
lim⁡n→+∞2n2+n+1=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} +n+1=+\infty
Question 2

un=2n+1u_{n} =\frac{2}{n+1}

Correction
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
lim⁡n→+∞2=2lim⁡n→+∞n+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2} & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1 } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient :
lim⁡n→+∞2n+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n+1} =0
Question 3

un=2n2+2n+1n2u_{n} =2n^{2} +\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}

Correction
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
lim⁡n→+∞2n2=+∞lim⁡n→+∞2n=0lim⁡n→+∞1n2=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n}} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n^{2}}} & {=} & {0}\end{array}\right\} par somme :
lim⁡n→+∞2n2+2n+1n2=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} +\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}} = +\infty
Question 4

un=2n2−n+1u_{n} =2n^{2} -n+1

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞2n2−n+1\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1
lim⁡n→+∞2n2=+∞lim⁡n→+∞−n+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -n+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par addition, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par le monôme de plus haut degré donc ici n2n^{2} .
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞2n2−n+1=lim⁡n→+∞n2(2n2−n+1n2)\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(\frac{2n^{2} -n+1}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞2n2−n+1=lim⁡n→+∞n2(2n2n2−nn2+1n2)\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(\frac{2n^{2} }{n^{2} } -\frac{n}{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞2n2−n+1=lim⁡n→+∞n2(2−1n+1n2)\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(2-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞n2=+∞lim⁡n→+∞2−1n+1n2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } } & {=} & {2} \end{array}\right\} par produit lim⁡n→+∞n2(2−1n+1n2)=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(2-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } \right)=+\infty
Finalement :
lim⁡n→+∞2n2−n+1=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} -n+1=+\infty
Question 5

un=n+2+1nu_{n} =n+2+\frac{1}{\sqrt{n} }

Correction
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞n+2+1n\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } n+2+\frac{1}{\sqrt{n} }
lim⁡n→+∞n+2=+∞lim⁡n→+∞1n=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+2 } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{n}}} & {=} & {0 } \end{array}\right\} par addition
lim⁡n→+∞n+2+1n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n+2+\frac{1}{\sqrt{n}}=+\infty
Question 6

un=n+12n+3u_{n} =\frac{n+1}{2n+3}

Correction
lim⁡n→+∞n+1=+∞lim⁡n→+∞2n+3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons au numérateur par le monôme de plus haut degré donc ici nn et nous factoriserons au dénominateur par le monôme de plus haut degré donc ici nn .
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞n+12n+3=lim⁡n→+∞n(n+1n)n(2n+3n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n+3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}{n\left(\frac{2n+3}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n+12n+3=lim⁡n→+∞nn+1n2nn+3n\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n+3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{n}{n} +\frac{1}{n} }{\frac{2n}{n} +\frac{3}{n} }
lim⁡n→+∞n+12n+3=lim⁡n→+∞1+1n2+3n\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n+3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{2+\frac{3}{n} }
lim⁡n→+∞1+1n=1lim⁡n→+∞2+3n=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\frac{3}{n} } & {=} & {2} \end{array}\right\} par quotient, lim⁡n→+∞1+1n2+3n=12\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{2+\frac{3}{n} } =\frac{1}{2}
Finalement :
lim⁡n→+∞n+12n+3=12\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{2n+3} =\frac{1}{2}
Question 7

un=n2+1−2n−3u_{n} =\frac{n^{2} +1}{-2n-3}

Correction
lim⁡n→+∞n2+1=+∞lim⁡n→+∞−2n−3=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n-3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par n2n^{2} au numérateur et par nn au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici n2n^{2} et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici nn.
lim⁡n→+∞n2+1−2n−3=lim⁡n→+∞n2(n2+1n2)n(−2n−3n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} +1}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{-2n-3}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n2+1−2n−3=lim⁡n→+∞n2(n2n2+1n2)n(−2nn−3n)\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{-2n}{n} -\frac{3}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n2+1−2n−3=lim⁡n→+∞n2(1+1n2)n(−2−3n)\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}{n\left(-2-\frac{3}{n} \right)} . On simplifie par nn au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞n2+1−2n−3=lim⁡n→+∞n(1+1n2)−2−3n\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}{-2-\frac{3}{n} }
lim⁡n→+∞n(1+1n2)=+∞lim⁡n→+∞−2−3n=−2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2-\frac{3}{n} } & {=} & {-2} \end{array}\right\} par quotient, lim⁡n→+∞n(1+1n2)−2−3n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}{-2-\frac{3}{n} } =-\infty
Finalement :
lim⁡n→+∞n2+1−2n−3=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +1}{-2n-3} =-\infty
Question 8

un=n+1+1−2n−3u_{n} =n+1+\frac{1}{-2n-3}

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞n+1+1−2n−3\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } n+1+\frac{1}{-2n-3}
lim⁡n→+∞n+1=+∞lim⁡n→+∞1−2n−3=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{-2n-3} } & {=} & {0} \end{array}\right\} par addition
lim⁡n→+∞n+1+1−2n−3=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n+1+\frac{1}{-2n-3} =+\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 9

un=n+1−2n3+2n−3u_{n} =\frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3}

Correction
lim⁡n→+∞n+1=+∞lim⁡n→+∞−2n3+2n−3=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{3} +2n-3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par nn au numérateur et par n3n^{3} au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici nn et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici n3n^{3} .
lim⁡n→+∞n+1−2n3+2n−3=lim⁡n→+∞n(n+1n)n3(−2n3+2n−3n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{-2n^{3} +2n-3}{n^{3} } \right)}
lim⁡n→+∞n+1−2n3+2n−3=lim⁡n→+∞n(nn+1n)n3(−2n3n3+2nn3−3n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{-2n^{3} }{n^{3} } +\frac{2n}{n^{3} } -\frac{3}{n^{3} } \right)}
lim⁡n→+∞n+1−2n3+2n−3=lim⁡n→+∞n(1+1n)n3(−2+2n2−3n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right) }{n^{3} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)} . On simplifie par nn au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞n+1−2n3+2n−3=lim⁡n→+∞1+1nn2(−2+2n2−3n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{n^{2} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)}
lim⁡n→+∞1+1n=1lim⁡n→+∞n2(−2+2n2−3n3)=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par quotient, lim⁡n→+∞1+1nn2(−2+2n2−3n3)=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{1}{n} }{n^{2} \left(-2+\frac{2}{n^{2} } -\frac{3}{n^{3} } \right)} =0
Finalement :
lim⁡n→+∞n+1−2n3+2n−3=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{-2n^{3} +2n-3} =0
Question 10

un=n2+3−n2+n+1u_{n} =\frac{n^{2}+3}{-n^{2} +n+1}

Correction
lim⁡n→+∞n2+3=+∞lim⁡n→+∞−n2+n+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -n^{2} +n+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par n2n^{2} au numérateur et par n2n^{2} au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici n2n^{2} et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici n2n^{2} .
lim⁡n→+∞n2+3−n2+n+1=lim⁡n→+∞n2(n2+3n2)n2(−n2+n+1n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}+3}{-n^{2} +n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}\left(\frac{n^{2}+3}{n^{2}} \right)}{n^{2} \left(\frac{-n^{2} +n+1}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n2+3−n2+n+1=lim⁡n→+∞n2(n2n2+3n2)n2(−n2n2+nn2+1n2)\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +3}{-n^{2} +n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{3}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(\frac{-n^{2} }{n^{2} } +\frac{n}{n^{2} } +\frac{1}{n^{2} } \right)}
lim⁡n→+∞n2+3−n2+n+1=lim⁡n→+∞n2(1+3n2)n2(−1+1n+1n2)\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +3}{-n^{2} +n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(1+\frac{3}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(-1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } \right)} . On simplifie par n2n^{2} au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞n2+3−n2+n+1=lim⁡n→+∞1+3n2−1+1n+1n2\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +3}{-n^{2} +n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{n^{2} } }{-1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } }
lim⁡n→+∞1+3n2=1lim⁡n→+∞−1+1n+1n2=−1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{3}{n^{2}} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}} & {=} & {-1 } \end{array}\right\} par quotient, lim⁡n→+∞1+3n2−1+1n+1n2=−1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{3}{n^{2}} }{-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}} =-1
Finalement :
lim⁡n→+∞n2+3−n2+n+1=−1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}+3}{-n^{2} +n+1} = -1

Question 11

un=−2nn−3nn+4u_{n} =\frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4}

Correction
lim⁡n→+∞−2nn−3n=−∞lim⁡n→+∞n+4=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n\sqrt{n} -3n} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+4} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par le monôme de plus haut degré donc ici nn au numérateur et au dénominateur.
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞−2nn−3nn+4=lim⁡n→+∞n(−2nn−3nn)n(n+4n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n} \right)}{n\left(\frac{n+4}{n} \right)}
lim⁡n→+∞−2nn−3nn+4=lim⁡n→+∞n(−2nnn−3nn)n(nn+4n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-2n\sqrt{n} }{n} -\frac{3n}{n} \right)}{n\left(\frac{n}{n} +\frac{4}{n} \right)}
lim⁡n→+∞−2nn−3nn+4=lim⁡n→+∞n(−2n−3n)n(1+4n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-2\sqrt{n} -\frac{3}{n}\right)}{n\left(1+\frac{4}{n} \right)}. On simplifie par nn au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞−2nn−3nn+4=lim⁡n→+∞−2n−3n1+4n\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2\sqrt{n}-\frac{3}{n} }{1+\frac{4}{n} }
lim⁡n→+∞−2n−3n=−∞lim⁡n→+∞1+4n=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2\sqrt{n}-\frac{3}{n} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{4}{n} } & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient, lim⁡n→+∞−2n−3n1+4n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2\sqrt{n}-\frac{3}{n} }{1+\frac{4}{n} } =-\infty
Finalement :
lim⁡n→+∞−2nn−3nn+4=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n\sqrt{n} -3n}{n+4} =-\infty

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