La récurrence - Exercice 9

La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante si et seulement si $$u_{n+1} - u_{n} \ge0$$ . Autrement dit, si $$u_{n+1} \ge u_{n}$$ .
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n+1} \ge u_{n}$$ .
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =0$$ .
Calculons $$u_{1}$$ .
Or $$u_{1} =\sqrt{2+3u_{0} } =\sqrt{2}$$ , ainsi $$u_{1} \ge u_{0}$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k+1} \ge u_{k}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+2} \ge u_{k+1}$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k+1} \ge u_{k}$$ équivaut successivement à :
$$3u_{k+1} \ge 3u_{k}$$
$$2+3u_{k+1} \ge 2+3u_{k}$$, on va composer par la fonction racine carrée qui est strictement croissante sur $$\left[0;+\infty \right[$$
$$\sqrt{2+3u_{k+1} } \ge \sqrt{2+3u_{k} }$$, il vient alors que :
$$u_{k+2} \ge u_{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$u_{n+1} \ge u_{n}$$ .
Autrement dit, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.