Exercice 6 - Exercice 1

Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to -1^{+}} 1+x=0^{+}$$. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi $$\lim\limits_{x\to -1^{+}} 1+x=0^{+}$$
On pose $$X=1+x$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to 0^{+} } \ln \left(X\right) =-\infty$$.
Par composition :
Ainsi :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -1^{+} } \left(1+x\right)^{2} -1} & {=} & {-1 } \\ {\lim\limits_{x\to -1^{+} } \ln \left(1+x\right)} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}{\text{par addition}}$$

Soit $$N\left(x\right)=\left(1+x\right)^{2} -1+\ln \left(1+x\right)$$ .
$$N$$ est dérivable sur $$\left]-1 ;+\infty \right[$$ .
Il vient :
$$N'\left(x\right)=2\left(1+x\right)+\frac{1}{x+1}$$
$$N'\left(x\right)=\frac{2\left(1+x\right)\left(1+x\right)}{x+1} +\frac{1}{x+1}$$
$$N'\left(x\right)=\frac{2\left(1+x\right)^{2} }{x+1} +\frac{1}{x+1}$$

Il nous faut étidier le signe de : $$N'\left(x\right)=\frac{2\left(1+x\right)^{2} +1}{x+1}$$
Comme $$x\in \left]-1 ;+\infty \right[$$ alors $$x>-1$$ et donc $$x+1>0$$ . Le dénominateur est donc strictement positif.
De plus, nous savons que $$x+1>0$$ ainsi $$\left(1+x\right)^{2}>0$$. De ce fait , $$2\left(1+x\right)^{2} +1>0$$, ce qui signifie que le numérateur est positif.
Il en résulte donc que :
$$N'\left(x\right)=\frac{2\left(1+x\right)^{2} +1}{x+1}>0$$. Ce qui signifie que la fonction $$N$$ est strictement croissante sur $$\left]-1 ;+\infty \right[$$.
Nous dressons ci-dessous, le tableau de variation de la fonction $$N$$ en y intégrant les limites déterminées précédemment.

Soit $$N\left(x\right)=\left(1+x\right)^{2} -1+\ln \left(1+x\right)$$ ainsi :
$$N\left(0\right)=\left(1+0\right)^{2} -1+\ln \left(1+0\right)$$ d'où $$N\left(0\right)=0$$
Il vient que :

Sur $$\left]-1;+\infty\right[$$ , la fonction $$N$$ est continue et strictement croissante.
De plus, $$\lim\limits_{x\to -1^{+}} N\left(x\right)=-\infty$$ et $$\lim\limits_{x\to +\infty} N\left(x\right)=+\infty$$
Or $$0 \in \left]-\infty;+\infty\right[$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution dans $$\left]-1;+\infty\right[$$ tel que $$N\left(x\right) = 0$$ et nous savons que $$N\left(0\right)=0$$ .
Sur $$\left]-1;+\infty\right[$$, la fonction $$N$$ est continue et strictement croissante et $$N\left(0\right) = 0$$
Donc $$N\left(x\right)\le0$$ pour tout $$x\in\left]-1;0\right]$$ et $$N\left(x\right)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[0;+\infty\right[$$
On résume cela dans un tableau de signe :

Soit $$f\left(x\right)=x-\frac{\ln \left(1+x\right)}{1+x}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-1 ;+\infty \right[$$ .
On reconnaît la forme $$\left(w-\frac{u}{v} \right)^{'} =w'-\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$w\left(x\right)=x$$ ; $$u\left(x\right)=\ln \left(x+1\right)$$ et $$v\left(x\right)=1+x$$.
Ainsi $$w'\left(x\right)=1$$ ; $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
$$f'\left(x\right)=1-\frac{\frac{1}{1+x} \times \left(1+x\right)-\ln \left(x+1\right)\times 1}{\left(1+x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=1-\frac{\frac{1+x}{1+x} -\ln \left(x+1\right)\times 1}{\left(1+x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=1-\frac{1-\ln \left(x+1\right)}{\left(1+x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(1+x\right)^{2} }{\left(1+x\right)^{2} } -\frac{1-\ln \left(x+1\right)}{\left(1+x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(1+x\right)^{2} -\left(1-\ln \left(x+1\right)\right)}{\left(1+x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(1+x\right)^{2} -1+\ln \left(x+1\right)}{\left(1+x\right)^{2} }$$

D'après la question $$6$$, nous savons que : $$f'\left(x\right)=\frac{N\left(x\right)}{\left(1+x\right)^{2} }$$
Or pour tout $$x \in \left]-1 ;+\infty \right[$$ , nous vérifions facilement que $$\left(1+x\right)^{2}>0$$ ( vu aussi à la question $$4$$ )
Donc le signe de $$f'$$ dépend du signe de $$N$$.
Or, d'après la question $$5$$, nous avons déterminer le signe de $$N$$. Nous pouvons donc dresser le tableau de variation de la fonction $$f$$.

Nous savons que les variations de la fonction $$f$$ dont données par le tableau ci-dessous :
Nous allons faire une rescription de la fonction $$f$$ sur l'intervalle $$\left[0 ; 4\right]$$ .

$$f\left(0\right)=0-\frac{\ln \left(1+0\right)}{1+0}$$ d'où $$f\left(0\right)=0$$

$$f\left(4\right)=4-\frac{\ln \left(1+4\right)}{1+4}$$ d'où $$f\left(4\right)=4-\frac{\ln \left(5\right)}{5}$$ et $$f\left(4\right)\approx3,67$$

Il vient alors que : Comme $$x\in\left[0 ; 4\right]$$ alors :
$$0\le x\le 4$$
$$f\left(0\right)\le f\left(x\right)\le f\left(4\right)$$ car la fonction $$f$$ est croissante sur $$\left[0 ; 4\right]$$ donc l'ordre est conservé .
$$0\le f\left(x\right)\le 4-\frac{\ln \left(5\right)}{5} {\color{blue}\le 4}$$
Ainsi si $$x\in \left[0 ; 4\right]$$ , alors $$f\left(x\right) \in \left[0 ; 4\right]$$.

On place $$u_{0}$$ sur l'axe des abscisses. Nous pouvons donner des coordonnées à ce point sous la forme $$\left(u_{0} ;0\right)$$

Cherchons ensuite le point d'ordonnée $$f\left(u_{0}\right)$$, on l'obtient en traçant une droite verticale passant par $$u_{0}$$ et en cherchant son intersection avec la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$. Ce point a comme ordonnée $$f\left(u_{0}\right)$$, ce qui correspond à $$u_{1}$$ , puisque $$u_{1} = f\left(u_{0}\right)$$.

Projetons, ensuite, horizontalement le point de coordonnées $$\left(u_{0} ;u_{1}\right)$$ sur la droite $$y=x$$ pour obtenir le point de coordonnées $$\left(u_{1} ;u_{1}\right)$$, une projection verticale permet ensuite de reporter le point $$\left(u_{1} ;0\right)$$ sur l'axe des abscisses.

Faire de même pour obtenir $$u_{2}$$ puis $$u_{3}$$ et ainsi de suite.

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} : 0\le u_{n} \le 4$$
Etape d'initialisation
Nous savons que $$u_{0}=4$$ et donc $$0\le u_{0} \le 4$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$0\le u_{k} \le 4$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$0\le u_{k+1} \le 4$$
Par hypothèse de récurrence,
$$0\le u_{k} \le 4$$ , or $$f$$ est une fonction croissante sur $$\left[0;4\right]$$ , ainsi :
$$f\left(0\right)\le f\left(u{}_{k} \right)\le f\left(4\right)$$ car $$f\left(u{}_{k+1} \right)=u_{k}$$
$$f\left(0\right)\le u{}_{k+1} \le f\left(4\right)$$
$$0\le u{}_{k+1} \le 4-\frac{\ln \left(5\right)}{5}$$
$$0\le u{}_{k+1} \le 4-\frac{\ln \left(5\right)}{5} {\color{blue}\le 4}$$

Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$u_{n}\in \left[0 ; 4\right]$$

Il nous faut étudier le signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$ .
$$u_{n+1} -u_{n} =f\left(u_{n} \right)-u_{n}$$ équivaut successivement à :
$$u_{n+1} -u_{n} =u_{n} -\frac{\ln \left(u_{n}+1\right)}{u_{n}+1} -u_{n}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-\frac{\ln \left(u_{n}+1\right)}{u_{n}+1}$$
Comme $$u_{n}\in \left[0 ; 4\right]$$ alors :
$$u_{n} \ge 0\Leftrightarrow u_{n} +1\ge 1\Leftrightarrow \ln \left(u_{n} +1\right)\ge \ln \left(1\right)\Leftrightarrow \ln \left(u_{n} +1\right)\ge 0$$
Ainsi : $$\ln \left(u_{n} +1\right)\ge 0$$ et $$u_{n} +1\ge 0$$
Il en résulte donc que : $$-\frac{\ln \left(u_{n}+1\right)}{u_{n}+1}\le 0$$
Par conséquent :
$$u_{n+1} -u_{n} \le 0$$ et donc la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est décroissante.

On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était minorée par $$0$$ car : $$u_{n} \ge 0$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$l$$.

Comme $$f$$ est continue, on sait que $$l$$ est solution de l’équation $$f\left(x\right)=x$$ . On en déduit que $$l=0$$.
Ce calcul a été fait à la question $$8$$ en montrant que $$f\left(0\right)=0$$ .