Exercice 4 - Exercice 1

Comme $$u_{n} =\frac{n^{2} }{2^{n} }$$ alors $$u_{n+1} =\frac{\left(n+1\right)^{2} }{2^{n+1} }$$ .
Ainsi :
$$v_{n} =\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ équivaut successivement à
$$v_{n} =\frac{\left(\frac{\left(n+1\right)^{2} }{2^{n+1} } \right)}{\left(\frac{n^{2} }{2^{n} } \right)}$$
$$v_{n} =\frac{\left(n+1\right)^{2} }{2^{n+1} } \times \frac{2^{n} }{n^{2} }$$
$$v_{n} =\frac{\left(n+1\right)^{2} }{n^{2} } \times \frac{2^{n} }{2^{n+1} }$$
$$v_{n} =\frac{\left(n+1\right)^{2} }{n^{2} } \times \frac{1}{2}$$
Or $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\left(n+1\right)^{2} }{n^{2} } =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} +2n+1}{n^{2} } =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} }{n^{2} } =1$$
Ainsi : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\left(n+1\right)^{2} }{n^{2} } \times \frac{1}{2} =\frac{1}{2}$$
Finalement :

Pour tout entier naturel $$n>0$$, on sait que d'après la question précédente, on a : $$v_{n} =\frac{\left(n+1\right)^{2} }{n^{2} } \times \frac{1}{2}$$
Comme $$n>0$$ alors : $$n+1>n.$$
Comme la fonction $$x\mapsto x^{2}$$ est croissante sur $$\left[0;+\infty \right[$$ alors :
$$\left(n+1\right)^{2} >n^{2}$$
$$\frac{\left(n+1\right)^{2} }{n^{2} } >1$$
$$\frac{\left(n+1\right)^{2} }{n^{2} } \times \frac{1}{2} >\frac{1}{2}$$
Il en résulte que :

$$v_{n} <\frac{3}{4}$$ équivaut successivement à
$$\frac{\left(n+1\right)^{2} }{n^{2} } \times \frac{1}{2} <\frac{3}{4}$$
$$\frac{\left(n+1\right)^{2} }{n^{2} } <\frac{3}{2}$$
$$\left(\frac{n+1}{n} \right)^{2} <\frac{3}{2}$$
$$\frac{n+1}{n} <\sqrt{\frac{3}{2} }$$
$$n+1<\sqrt{\frac{3}{2} } n$$
$$n-\sqrt{\frac{3}{2} } n<-1$$
$$n\left(1-\sqrt{\frac{3}{2} } \right)<-1$$. Or $$1-\sqrt{\frac{3}{2} } <0$$
Ainsi,
$$n>\frac{-1}{1-\sqrt{\frac{3}{2} } }$$

Dans ce cas, il faut prendre $$N=4$$ car nous voulons le plus petit entier $$N$$ tel que si $$n>N$$, $$v_{n} <\frac{3}{4}$$.

On vient de démontrer que pour $$n>4$$ alors $$v_{n} <\frac{3}{4}$$.
Comme $$v_{n} =\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$, il vient alors que : $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } <\frac{3}{4}$$ et comme la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est composé de nombres réels strictement positifs.
On peut écrire que :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} \le \left(\frac{3}{4} \right)^{n-5} u_{5}$$
Etape d'initialisation
Lorsque $$n=5$$ , on a $$u_{5} \le \left(\frac{3}{4} \right)^{5-5} u_{5}$$ qui donne $$u_{5} \le \left(\frac{3}{4} \right)^{0} u_{5}$$ c'est-à-dire $$u_{5} \le u_{5}$$ .
La propriété $$P_{5}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} \le \left(\frac{3}{4} \right)^{k-5} u_{5}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} \le \left(\frac{3}{4} \right)^{k-4} u_{5}$$
Par hypothèse de récurrence,
$$u_{k} \le \left(\frac{3}{4} \right)^{k-5} u_{5}$$ , on multiplie par $$\frac{3}{4}$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$\frac{3}{4} u_{k} \le \frac{3}{4} \times \left(\frac{3}{4} \right)^{k-5} u_{5}$$
$$\frac{3}{4} u_{k} \le \left(\frac{3}{4} \right)^{k-4} u_{5}$$.
Or d'après la question 4, on a montré que : $$u_{k+1} <\frac{3}{4} u_{k}$$.
Il vient alors que :
$$u_{k+1} <\frac{3}{4} u_{k} \le \left(\frac{3}{4} \right)^{k-4} u_{5} .$$
On peut donc écrire que :
$$u_{k+1} \le \left(\frac{3}{4} \right)^{k-4} u_{5}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{5}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n\ge 5$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n\ge 5$$, on a bien : .

On admet que $$S_{n} \le \left[1+\frac{3}{4} +\left(\frac{3}{4} \right)^{2} +\left(\frac{3}{4} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{3}{4} \right)^{n-5} \right]u_{5}$$
Or :
$$1+\frac{3}{4} +\left(\frac{3}{4} \right)^{2} +\left(\frac{3}{4} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{3}{4} \right)^{n-5} =\left(\frac{3}{4} \right)^{0} +\left(\frac{3}{4} \right)^{1} +\left(\frac{3}{4} \right)^{2} +\left(\frac{3}{4} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{3}{4} \right)^{n-5}$$.
Il s'agir de la somme des $$\left(n-5-0+1\right)=n-4$$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $$1$$ et de raison $$\frac{3}{4}$$ .
Ainsi :
$$1+\frac{3}{4} +\left(\frac{3}{4} \right)^{2} +\left(\frac{3}{4} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{3}{4} \right)^{n-5} =1\times \left(\frac{1-\left(\frac{3}{4} \right)^{n-4} }{1-\frac{3}{4} } \right)$$
$$1+\frac{3}{4} +\left(\frac{3}{4} \right)^{2} +\left(\frac{3}{4} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{3}{4} \right)^{n-5} =\left(\frac{1-\left(\frac{3}{4} \right)^{n-4} }{\frac{1}{4} } \right)$$
$$1+\frac{3}{4} +\left(\frac{3}{4} \right)^{2} +\left(\frac{3}{4} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{3}{4} \right)^{n-5} =4\left(1-\left(\frac{3}{4} \right)^{n-4} \right)$$
Ainsi :
$$S_{n} \le 4u_{5} \left(1-\left(\frac{3}{4} \right)^{n-4} \right)$$
Or, pour tout entier naturel $$n\ge 5$$, on vérifie facilement que $$1-\left(\frac{3}{4} \right)^{n-4} \le 1$$
Ainsi : $$4u_{5} \left(1-\left(\frac{3}{4} \right)^{n-4} \right)\le 4u_{5}$$
Et comme : $$S_{n} \le 4u_{5} \left(1-\left(\frac{3}{4} \right)^{n-4} \right)$$
On peut écrire que : $$S_{n} \le 4u_{5} \left(1-\left(\frac{3}{4} \right)^{n-4} \right)\le 4u_{5}$$
Finalement :

Pour tout entier naturel $$n\ge 5$$, $$S_{n} =u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{n}$$ alors $$S_{n+1} =u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{n} +u_{n+1}$$.
Donc : $$S_{n+1} -S_{n} =u_{n+1} .$$
Or la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est composée de nombres réels strictement positifs donc $$u_{n+1} >0$$.
Il en résulte que :
La suite $$\left(S_{n} \right)$$ est donc croissante.

Pour tout entier naturel $$n\ge 5$$,
On a montré que la suite $$\left(S_{n} \right)$$ est croissante.
De plus la suite $$\left(S_{n} \right)$$ est majorée car $$S_{n} \le 4u_{5}$$.
Il en résulte que la suite $$\left(S_{n} \right)$$ est convergente.