Exercice 3 - Exercice 1

D'une part :
$$u_{1} =\frac{3\times u_{0} }{1+2u_{0} }$$
$$u_{1} =\frac{3\times \frac{1}{2} }{1+2\times \frac{1}{2} }$$

D'autre part :
$$u_{2} =\frac{3\times u_{1} }{1+2u_{1} } =\frac{3\times \frac{3}{4} }{1+2\times \frac{3}{4} } =\frac{9}{10}$$
$$u_{2} =\frac{3\times \frac{3}{4} }{1+2\times \frac{3}{4} }$$

On rappelle que : $$u_{n+1} =\frac{3u_{n} }{1+2u_{n} }$$
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} >0$$ .
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =\frac{1}{2}$$ ainsi $$u_{0} >0$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} >0$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} >0$$
Par hypothèse de récurrence
$$u_{k} >0$$ , donc $$3u_{k} >0$$
De plus, $$1+2u_{k} >1$$ ainsi $$1+2u_{k} >0$$ donc $$\frac{3u_{k} }{1+2u_{k} } >0$$
Il vient alors que :

Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :

Calculons $$u_{n+1} -u_{n}$$ et ensuite étudions le signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$.
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{3u_{n} }{1+2u_{n} } -u_{n}$$
On va tout mettre au même dénominateur.
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{3u_{n} }{1+2u_{n} } -\frac{u_{n} \left(1+2u_{n} \right)}{1+2u_{n} }$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{3u_{n} -u_{n} \left(1+2u_{n} \right)}{1+2u_{n} }$$
On factorise le numérateur par $$u_{n}$$.
Il vient alors que :
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{u_{n} \left(3-1-2u_{n} \right)}{1+2u_{n} }$$

Or, $$u_{n} <1$$ et $$u_{n} >0$$. D'où
$$1+2u_{n} >0$$
Donc $$u_{n+1} -u_{n}$$ est du signe de $$2-2u_{n}$$.
Comme $$u_{n} <1$$ alors :
$$-2u_{n} >-2$$
$$-2u_{n} +2>0.$$
Il en résulte que : .
Finalement la suite $$(u_{n} )$$ est croissante.

La suite $$(u_{n} )$$ est croissante et majorée par $$1$$, elle converge donc vers un réel $$l$$.

Pour tout entier naturel $$n$$,
$$v_{n+1} =\frac{u_{n+1} }{1-u_{n+1} }$$ équivaut successivement à
$$v_{n+1} =\frac{\frac{3u_{n} }{1+2u_{n} } }{1-\frac{3u_{n} }{1+2u_{n} } }$$
$$v_{n+1} =\frac{\frac{3u_{n} }{1+2u_{n} } }{\frac{1+2u_{n} -3u_{n} }{1+2u_{n} } }$$
$$v_{n+1} =\frac{\left(\frac{3u_{n} }{1+2u_{n} } \right)}{\left(\frac{1-u_{n} }{1+2u_{n} } \right)}$$

$$v_{n+1} =\frac{3u_{n} }{1+2u_{n} } \times \frac{1+2u_{n} }{1-u_{n} }$$
$$v_{n+1} =\frac{3u_{n} }{1-u_{n} } =3v_{n}$$

La suite $$(v_{n} )$$ est donc une suite géométrique de raison $$q=3$$ et de premier terme :
$$v_{0} =\frac{u_{0} }{1-u_{0} }$$
$$v_{0} =\frac{\frac{1}{2} }{1-\frac{1}{2} } =1$$

Pour tout entier naturel $$n$$, l'expression $$v_{n}$$ en fonction de $$n$$ est :
$$v_{n} =v_{0}\times q^{n}$$

Pour tout entier naturel $$n$$,
$$v_{n} =\frac{u_{n} }{1-u_{n} }$$ équivaut successivement à
$$\left(1-u_{n} \right)v_{n} =u_{n}$$
$$v_{n} -u_{n} v_{n} =u_{n}$$
$$v_{n} =u_{n} +u_{n} v_{n}$$
$$u_{n} +u_{n} v_{n} =v_{n}$$
On factorise par $$u_{n}$$.
$$u_{n} \left(1+v_{n} \right)=v_{n}$$

Comme $$u_{n} =\frac{v_{n} }{1+v_{n} }$$ et $$v_{n} =3^{n}$$ alors

Comme $$3>1$$ alors $$\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} =+\infty$$, l'étude du quotient conduit donc à une forme indéterminée.
On va factoriser le numérateur par $$3^{n}$$.
$$u_{n} =\frac{3^{n} }{3^{n} +1}$$
$$u_{n} =\frac{3^{n} \times 1}{3^{n} \times \left(\frac{3^{n} +1}{3^{n} } \right)}$$
$$u_{n} =\frac{1}{\left(\frac{3^{n} }{3^{n} } +\frac{1}{3^{n} } \right)}$$
$$u_{n} =\frac{1}{1+\frac{1}{3^{n} } }$$
$$u_{n} =\frac{1}{1+\left(\frac{1}{3} \right)^{n} }$$
Comme $$-1<\frac{1}{3} <1$$ alors $$\lim\limits_{n\to \infty } \left(\frac{1}{3} \right)^{n} =0$$
Par quotient $$\lim\limits_{n\to \infty } u_{n} =1$$
La suite $$(u_{n} )$$ converge vers $$1$$.