Exercice 2 - Exercice 1

On a : $$u_{0} =0$$
Donc :

• $$u_{1} =\frac{1}{2-u_{0} } =\frac{1}{2}$$
• $$u_{2} =\frac{1}{2-u_{1} } =\frac{1}{2-\frac{1}{2} } =\frac{2}{3}$$
• $$u_{3} =\frac{1}{2-u_{2} } =\frac{1}{2-\frac{2}{3} } =\frac{3}{4}$$

Il vient alors que :
$$w_{0} =\frac{0}{0+1} =0=u_{0}$$
$$w_{1} =\frac{1}{1+1} =\frac{1}{2} =u_{1}$$
$$w_{2} =\frac{2}{2+1} =\frac{2}{3} =u_{2}$$
$$w_{3} =\frac{3}{3+1} =\frac{3}{4} =u_{3}$$

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} =w_{n}$$
Etape d'initialisation
On a vu précédemment à la question 2 que $$u_{0} =w_{0}$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$u_{k} =w_{k}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} =w_{k+1}$$.
On sait que :
$$u_{k+1} =\frac{1}{2-u_{k} }$$
Par hypothèse de récurrence, on a : $$u_{k} =w_{k}$$.
$$u_{k+1} =\frac{1}{2-w_{k} }$$, or : $$w_{k} =\frac{k}{k+1}$$, d'où :
$$u_{k+1} =\frac{1}{2-\frac{k}{k+1} }$$ équivaut successivement à
$$u_{k+1} =\frac{1}{\frac{2\left(k+1\right)}{k+1} -\frac{k}{k+1} }$$
$$u_{k+1} =\frac{1}{\frac{k+2}{k+1} }$$
$$u_{k+1} =\frac{k+1}{k+2}$$
$$u_{k+1} =w_{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$u_{n} =w_{n}$$ .

$$\lim\limits_{n\to +\infty } S_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } -\ln \left(n+1\right)$$
Or : $$\lim\limits_{n\to +\infty } n+1=+\infty$$
On pose : $$N=n+1$$et $$\lim\limits_{N\to +\infty } -\ln \left(N\right)=-\infty$$.
Par composition :