Exercice 1 DEJA UTILISE EN MATHS SPECIALITE - Exercice 1

La proposition est vraie.

• $$u_{0+2} =-3u_{0+1} +2u_{0} +\left(0\right)^{2} -2$$ donc : $$u_{2} =-3u_{1} +2u_{0} +\left(0\right)^{2} -2$$

D'où : $$u_{2} =-3\times \left(-1\right)+2\times 2+\left(0\right)^{2} -2=5$$

• $$u_{1+2} =-3u_{1+1} +2u_{1} +\left(1\right)^{2} -2$$ donc $$u_{3} =-3u_{2} +2u_{1} +\left(1\right)^{2} -2$$

D'où : $$u_{3} =-3\times 5+2\times \left(-1\right)+\left(1\right)^{2} -2=-18$$

La proposition est vraie.

On sait que : $$u_{n} =\int _{1}^{2}f_{n} \left(x\right)dx =\int _{1}^{2}\frac{2}{3+5n\ln \left(1+x\right)} dx$$
Alors : $$u_{n+1} =\int _{1}^{2}f_{n+1} \left(x\right)dx =\int _{1}^{2}\frac{2}{3+5\times \left(n+1\right)\ln \left(1+x\right)} dx$$
Il faut donc étudier le signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Soient $$x\in \left[1;2\right]$$ et $$n\ge 0$$ alors :
$$n+1\ge n$$ équivaut successivement à :
$$5\left(n+1\right)\ge 5n$$ , on lorsque $$x\in \left[1;2\right]$$ alors $$\ln \left(1+x\right)\ge 0$$ d'où :
$$5\left(n+1\right)\times \ln \left(1+x\right)\ge 5n\times \ln \left(1+x\right)$$
$$3+5\left(n+1\right)\times \ln \left(1+x\right)\ge 3+5n\times \ln \left(1+x\right)$$.
Ensuite on sait que la fonction $$x\mapsto \frac{1}{x}$$ est strictement décroissante sur $$\left[1;2\right]$$, donc l'ordre n'est pas conservé.
$$\frac{1}{3+5\left(n+1\right)\times \ln \left(1+x\right)} \le \frac{1}{3+5n\times \ln \left(1+x\right)}$$
$$\frac{2}{3+5\left(n+1\right)\times \ln \left(1+x\right)} \le \frac{2}{3+5n\times \ln \left(1+x\right)}$$
$$f_{n+1} \left(x\right)\le f_{n} \left(x\right) .$$
Or : $$f_{n+1} \left(x\right)$$ et $$f_{n} \left(x\right)$$ et que l'on a $$f_{n+1} \left(x\right)\le f_{n} \left(x\right)$$, d'après le rappel il vient :
$$u_{n+1} \le u_{n}$$
Autrement dit : .
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.

La proposition est vraie.
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} \le 6$$ (c'est la traduction mathématique d'une suite majorée par 6)
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =1$$ ainsi $$u_{0} \le 6$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} \le 6$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} \le 6$$
Par hypothèse de récurrence,
$$u_{k} \le 6$$ , on multiplie par $$\frac{2}{3}$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$\frac{2}{3} u_{k} \le \frac{2}{3} \times 6$$
$$\frac{2}{3} u_{k} \le 4$$, on rajoute $$2$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$\frac{2}{3} u_{k} +2\le 6$$
Il vient alors que :
$$u_{k+1} \le 6$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$u_{n} \le 6$$ .

La proposition est vraie.
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} =12-2\times \left(0.9\right)^{n}$$
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =10$$ et que $$u_{0} =12-2\times \left(0.9\right)^{0} =12-2=10$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} =12-2\times \left(0.9\right)^{k}$$et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$u_{k+1} =12-2\times \left(0.9\right)^{k+1}$$
Par hypothèse de récurrence,
$$u_{k} =12-2\times \left(0.9\right)^{k}$$ , on multiplie par $$0.9$$ de part et d'autre de l'égalité
$$0.9\times u_{k} =0.9\times \left(12-2\times \left(0.9\right)^{k} \right)$$
$$0,9\times u_{k} =0,9\times 12-2\times \left(0,9\right)^{k} \times 0.9$$
$$0,9\times u_{k} =10.8-2\times \left(0,9\right)^{k+1}$$ , on additionne par $$1,2$$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$)
$$0,9\times u_{k} +1,2=10.8-2\times \left(0,9\right)^{k+1} +1,2$$
$$u_{k+1} =12-2\times \left(0,9\right)^{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$u_{n} =12-2\times \left(0.9\right)^{n}$$

La proposition est fausse.
Commençons par calculer $$u_{1}$$
$$u_{1} =f\left(u_{0} \right)$$ d'où $$u_{1} =f\left(2\right)=1$$
On remarque que $$u_{1} \le u_{0}$$.
On conjecture que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n+1} \le u_{n}$$
Etape d'initialisation
On a vu précédemment que $$u_{1} \le u_{0}$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$u_{k+1} \le u_{k}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$u_{k+2} \le u_{k+1}$$
Par hypothèse de récurrence,
$$u_{k+1} \le u_{k}$$ , or $$f$$ est une fonction croissante sur $$\left[2;9\right]$$ , ainsi :
$$f\left(u_{k+1} \right)\le f\left(u_{k} \right)$$ d'où :

Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.

La proposition est fausse.
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on sait que :
$$-1\le \sin \left(\frac{2n+3}{n+1} \right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$2n-1\le 2n+\sin \left(\frac{2n+3}{n+1} \right)\le 2n+1$$ , on va ensuite diviser par $$5+3n$$ qui est strictement positif.
$$\frac{2n-1}{5+3n} \le \frac{2n+\sin \left(\frac{2n+3}{n+1} \right)}{5+3n} \le \frac{2n+1}{5+3n}$$
$$\frac{2n-1}{5+3n} \le u_{n} \le \frac{2n+1}{5+3n}$$
D'une part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2n-1}{5+3n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2n}{3n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{3} =\frac{2}{3}$$
D'autre part : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2n+1}{5+3n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2n}{3n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{3} =\frac{2}{3}$$
D'après le théorème des gendarmes .
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente.

La proposition est vraie.

On sait que $$A_{n} =\int _{1}^{2}\frac{e^{-2t} }{n+t} dt$$ alors $$A_{n+1} =\int _{1}^{2}\frac{e^{-2t} }{n+1+t} dt$$
Commençons par étudier les variations de la suite $$\left(A_{n} \right)$$
Soit $$t\in \left[0,2\right]$$ et $$n\ge 0$$, on a :
$$n+1\ge n$$, on rajoute $$t$$ de part et d'autre de l'égalité
$$n+1+t\ge n+t$$
Ensuite on sait que la fonction $$x\mapsto \frac{1}{x}$$ est strictement décroissante sur $$\left[1;2\right]$$, donc l'ordre n'est pas conservé.
$$\frac{1}{n+1+t} \le \frac{1}{n+t}$$. On multiplie par $$e^{-2t}$$, il vient :
$$\frac{e^{-2t} }{n+1+t} \le \frac{e^{-2t} }{n+t}$$
$$\int _{1}^{2}\frac{e^{-2t} }{n+1+t} dt\le \int _{1}^{2}\frac{e^{-2t} }{n+t} dt$$
$$A_{n+1} \le A_{n}$$. La suite $$\left(A_{n} \right)$$ est donc décroissante.
De plus, pour $$t\in \left[0,2\right]$$ et $$n\ge 0$$, on a
$$\frac{e^{-2t} }{n+t} >0$$ car $$e^{-2t} >0$$ et $$n+t>0$$
Ainsi : $$\int _{1}^{2}\frac{e^{-2t} }{n+t} dt>0$$ autrement dit : $$A_{n} >0$$.
La suite $$\left(A_{n} \right)$$ est donc minorée par 0.
On en conclut donc que $$\left(A_{n} \right)$$ est convergente et elle admet une limite finie que l'on note $$l$$.

La proposition est fausse.
On sait que $$w_{n} =v_{n} -u_{n}$$ alors,
$$w_{n+1} =v_{n+1} -u_{n+1}$$ équivaut successivement à :
$$w_{n+1} =\frac{u_{n+1} +v_{n} }{2} -\frac{u_{n} +v_{n} }{2}$$
$$w_{n+1} =\frac{u_{n+1} +v_{n} -u_{n} -v_{n} }{2}$$
$$w_{n+1} =\frac{u_{n+1} -u_{n} }{2}$$
$$w_{n+1} =\frac{\frac{u_{n} +v_{n} }{2} -u_{n} }{2}$$
$$w_{n+1} =\frac{\frac{u_{n} +v_{n} -2u_{n} }{2} }{2}$$
$$w_{n+1} =\frac{u_{n} +v_{n} -2u_{n} }{4}$$
$$w_{n+1} =\frac{v_{n} -u_{n} }{4}$$
$$w_{n+1} =\frac{w_{n} }{4}$$

La suite $$\left(w_{n} \right)$$ définie pour tout entier naturel $$n$$ par $$w_{n} =v_{n} -u_{n}$$ est une suite géométrique de raison $$\frac{1}{4}$$.

La proposition est fausse.
Nous appliquons l'algorithme, il vient alors que :
$$9+0,75\times9+0,75^{2}\times9+0,75^{3}\times9\approx24,6$$

La proposition est vraie.
Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$q=\frac{1}{3}$$
Il vient alors :
$$S=1+\frac{1}{3} +\left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\left(\frac{1}{3} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{1}{3} \right)^{2017}$$
$$S=\left(\frac{1}{3} \right)^{0}+\left(\frac{1}{3} \right)^{1} +\left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\left(\frac{1}{3} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{1}{3} \right)^{2017}$$ car $$\left(\frac{1}{3} \right)^{0}=1$$
Nous partons de $$\left(\frac{1}{3} \right)^{0}$$ qui est le premier terme à $$\left(\frac{1}{3} \right)^{2017}$$ . Nous avons donc $$2018$$ termes.
On applique la formule :
$$S=1\times \frac{\left({\text 1}-\left(\frac{1}{3} \right)^{2018} \right)}{1-\frac{1}{3} }$$
$$S=1\times \frac{\left({\text 1}-\left(\frac{1}{3} \right)^{2018} \right)}{\frac{2}{3} }$$