Comment calculer lim⁡n→+∞a×qn+b\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n} +b - Exercice 1

20 min
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Déterminer les limites des suites (un)\left(u_{n} \right) suivantes :
Question 1

un=(−4)×0,85n+12u_{n} =\left(-4\right)\times 0,85^{n} +12

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<0,85<1-1<0,85<1 alors :
lim⁡n→+∞(0,85)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,85\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−4)×(0,85)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−4)×(0,85)n+12=12\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} +12=12
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=12\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =12
Question 2

un=3×(−23)n+1u_{n} =3\times \left(-\frac{2}{3} \right)^{n} +1

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<−23<1-1<-\frac{2}{3}<1 alors :
lim⁡n→+∞(−23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{2}{3}\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞3×(−23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times\left(-\frac{2}{3}\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞3×(−23)n+1=1\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times\left(-\frac{2}{3}\right)^{n} +1=1
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=1\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1
Question 3

un=2×(54)n−6u_{n} =2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n} -6

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.

Comme 54>1\frac{5}{4} >1 alors :
lim⁡n→+∞(54)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{4}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞2×(54)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times\left(\frac{5}{4}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞2×(54)n−6=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times\left(\frac{5}{4}\right)^{n} -6=+\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty
Question 4

un=−2×(32)n+4u_{n} =-2\times \left(\frac{3}{2} \right)^{n}+4

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.

Comme 32>1\frac{3}{2} >1 alors :
lim⁡n→+∞(32)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{3}{2}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞−3×(32)n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times\left(\frac{3}{2}\right)^{n} =-\infty
lim⁡n→+∞−3×(32)n+4=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times\left(\frac{3}{2}\right)^{n} +4=-\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-\infty
Question 5

un=(23)n+2(−57)n+1u_{n} =\frac{\left(\frac{2}{3} \right)^{n} +2}{\left(-\frac{5}{7} \right)^{n} +1}

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.

Comme −1<23<1-1<\frac{2}{3}<1 alors : lim⁡n→+∞(23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n} =0
Comme −1<−57<1-1<\frac{-5}{7}<1 alors : lim⁡n→+∞(−57)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{5}{7}\right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞(23)n+2=2lim⁡n→+∞(−57)n+1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n}+2 } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{5}{7}\right)^{n}+1} & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient
lim⁡n→+∞(23)n+2(−57)n+1=2\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\left(\frac{2}{3} \right)^{n} +2}{\left(-\frac{5}{7} \right)^{n} +1} = 2
Question 6

un=2n−3nu_{n} =2^{n} -3^{n}

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.

Comme 2>12>1 alors : lim⁡n→+∞2n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n} =+\infty
Comme 3>13>1 alors : lim⁡n→+∞3n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} =+\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞2n=+∞lim⁡n→+∞−3n=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n} } & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }-3^{n}} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par somme , on une forme indéterminée. On va donc factoriser l'expression par 3n3^{n} car au voisinage de +∞+\infty le terme 3n3^{n} est beaucoup plus grand que 2n2^{n}.
Ainsi :
lim⁡n→+∞2n−3n=lim⁡n→+∞3n(2n−3n3n)\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left(\frac{2^{n} -3^{n} }{3^{n} } \right)
lim⁡n→+∞2n−3n=lim⁡n→+∞3n(2n3n−3n3n)\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left(\frac{2^{n} }{3^{n} } -\frac{3^{n} }{3^{n} } \right)
lim⁡n→+∞2n−3n=lim⁡n→+∞3n(2n3n−1)\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left(\frac{2^{n} }{3^{n} } -1\right)
lim⁡n→+∞2n−3n=lim⁡n→+∞3n[(23)n−1]\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left[\left(\frac{2}{3} \right)^{n} -1\right] car : anbn=(ab)n\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}

Il en résulte que :
lim⁡n→+∞(23)n−1=−1lim⁡n→+∞3n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n}-1 } & {=} & {-1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n}} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par produit lim⁡n→+∞3n[(23)n−1]=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left[\left(\frac{2}{3} \right)^{n} -1\right] = -\infty
Finalement :
lim⁡n→+∞2n−3n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n} -3^{n}=-\infty

Question 7

un=2−(13)nn2+1u_{n} =\frac{2-\left(\frac{1}{3} \right)^{n} }{n^{2} +1}

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<13<1-1<\frac{1}{3}<1 alors : lim⁡n→+∞(13)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{3}\right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞2−(13)n=2lim⁡n→+∞n2+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2-\left(\frac{1}{3}\right)^{n} } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+1} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient
lim⁡n→+∞2−(13)nn2+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2-\left(\frac{1}{3} \right)^{n} }{n^{2} +1} = 0
Question 8

un=4n+13n−5u_{n} =\frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.

Comme 4>14>1 alors : lim⁡n→+∞4n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 4^{n} =+\infty
Comme 3>13>1 alors : lim⁡n→+∞3n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} =+\infty
Ainsi : lim⁡n→+∞4n+1=+∞lim⁡n→+∞3n−5=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4^{n} +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée. On va donc factoriser le numérateur par 4n4^{n} et le dénominateur par 3n3^{n}.
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞4n+13n−5=lim⁡n→+∞4n×(4n+14n)3n×(3n−53n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} \times \left(\frac{4^{n} +1}{4^{n} } \right)}{3^{n} \times \left(\frac{3^{n} -5}{3^{n} } \right)}
lim⁡n→+∞4n+13n−5=lim⁡n→+∞4n3n×(4n+14n)(3n−53n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} }{3^{n} } \times \frac{\left(\frac{4^{n} +1}{4^{n} } \right)}{\left(\frac{3^{n} -5}{3^{n} } \right)}
lim⁡n→+∞4n+13n−5=lim⁡n→+∞(43)n×(4n+14n)(3n−53n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(\frac{4^{n} +1}{4^{n} } \right)}{\left(\frac{3^{n} -5}{3^{n} } \right)} car : ......
lim⁡n→+∞4n+13n−5=lim⁡n→+∞(43)n×(4n4n+14n)(3n3n−53n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(\frac{4^{n} }{4^{n} } +\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(\frac{3^{n} }{3^{n} } -\frac{5}{3^{n} } \right)}
lim⁡n→+∞4n+13n−5=lim⁡n→+∞(43)n×(1+14n)(1−53n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty }\left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(1+\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(1-\frac{5}{3^{n} } \right)}

D'une part : comme 43>1\frac{4}{3}>1 alors : lim⁡n→+∞(43)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} =+\infty
D'autre part : lim⁡n→+∞1+14n=1lim⁡n→+∞1−53n=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{4^{n} }} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\frac{5}{3^{n} }} & {=} & {1} \end{array}\right\} donc par quotient : lim⁡n→+∞(1+14n)(1−53n)=1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\left(1+\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(1-\frac{5}{3^{n} } \right)} = 1
D'où : lim⁡n→+∞(43)n×(1+14n)(1−53n)=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(1+\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(1-\frac{5}{3^{n} } \right)}=+\infty

Finalement :
lim⁡n→+∞4n+13n−5=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=+\infty

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