Les probabilités conditionnelles et loi binomiale

Loi binomiale - Exercice 5

10 min
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Question 1

Une espérance aléatoire XX suit une loi binomiale B(n;p)B\left(n; p\right). Son espérance vaut 1,81,8 et son écart-type vaut 1,21,2.
Déterminer nn et pp.

Correction
XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n, p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
  • V(X)=n×p×(1−p)V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)
  • σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}
    • Ainsi :
    E(X)=1,8E\left(X\right)=1,8 donc
    n×p=1,8n\times p=1,8

    σ(X)=1,2\sigma \left(X\right)=1,2 d'où :
    n×p×(1−p)=1,2\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}=1,2

    Comme : n×p=1,8n\times p=1,8 et n×p×(1−p)=1,2\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}=1,2. Il vient alors que :
    1,8×(1−p)=1,2\sqrt{1,8\times \left(1-p\right)} =1,2
    1,8×(1−p)=1,221,8\times \left(1-p\right)=1,2^{2}
    1,8×(1−p)=1,441,8\times \left(1-p\right)=1,44
    1−p=1,441,81-p=\frac{1,44}{1,8}
    1−p=0,81-p=0,8
    −p=0,8−1-p=0,8-1
    −p=−0,2-p=-0,2
    Ainsi :
    p=0,2p=0,2

    Or : n×p=1,8n\times p=1,8 , il vient alors que :
    n×0,2=1,8n\times 0,2=1,8
    n=1,80,2n=\frac{1,8}{0,2}
    D'où :
    n=9n=9