Les probabilités conditionnelles et loi binomiale

Loi binomiale - Exercice 3

30 min
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Dans une fête foraine, un organisateur de jeux dispose de 22 urnes comportant chacune 88 boules.
L'urne AA comporte 33 boules vertes, 11 boule rouge et 44 boules bleues.
L'urne BB comporte 66 boules bleues et 22 boules rouges.
Le déroulement du jeu est le suivant :
Le joueur tire une boule de l'urne AA :
  • S'il tombe sur une boule verte le jeu s'arrête.
  • S'il tombe sur une boule rouge ou bleue, il tire une boule de l'urne BB.
On note :
  • V1 l'événement : "la boule est verte lors du premier tirage dans l'urne".
  • R1 l'événement : "la boule est rouge lors du premier tirage dans l'urne".
  • B1 l'événement : "la boule est bleue lors du premier tirage dans l'urne".
  • R2 l'événement : "la boule est rouge lors du deuxième tirage dans l'urne".
  • B2 l'événement : "la boule est bleue lors du deuxième tirage dans l'urne".
Question 1

Construire un arbre pondéré résumant la situation.

Correction
On remplit l'arbre pondéré avec les données de l'exercice.
Question 2

Calculer la probabilité de l'évènement HH "tirer deux boules bleues"

Correction
V1,R1V_{1} ,R_{1} et B1B_{1} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
Calculons P(H)=P(B1∩B2)P\left(H\right)=P\left(B_{1} \cap B_{2} \right)
P(H)=P(B1)×PB1(B2)P\left(H\right)=P\left(B_{1} \right)\times P_{B_{1} } \left(B_{2} \right)
P(H)=12×34P\left(H\right)=\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} d'où
P(H)=38P\left(H\right)=\frac{3}{8}

On a trois chances sur 88 de tirer deux boules bleues.
Question 3

Calculer la probabilité de l'évènement JJ "tirer une boule rouge"

Correction
Pour avoir une boule rouge, il y a deux possibilités :
- soit en 11er on tire une rouge puis ensuite une bleue.
- soit en 11er on tire une bleue puis ensuite une rouge.
Ainsi,
P(J)=P(R1∩B2)+P(B1∩R2)P\left(J\right)=P\left(R_{1} \cap B_{2} \right)+P\left(B_{1} \cap R_{2} \right) équivaut successivement à
P(J)=P(R1)×PR1(B2)+P(B1)×PB1(R2)P\left(J\right)=P\left(R_{1} \right)\times P_{R_{1} } \left(B_{2} \right)+P\left(B_{1} \right)\times P_{B_{1} } \left(R_{2} \right)
P(J)=18×34+12×14P\left(J\right)=\frac{1}{8} \times \frac{3}{4} +\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}
P(J)=732P\left(J\right)=\frac{7}{32}

On a 77 chances sur 3232 de tirer une boule rouge.
Question 4

Si les deux boules sont rouges, le joueur gagne 99€, si une boule est rouge, il gagne 33€, sinon il ne gagne rien.
Le joueur mise 11€. Soit XX la variable aléatoire représentant le gain du joueur.
Déterminer la loi de probabilité de XX.

Correction
Notons TT l'évènement deux boules sont rouges et JJ l'évènement une boule est rouge.
Nous avons déjà calculé P(J)P\left(J\right) à la question 33.
Calculons,
P(T)=P(R1∩R2)P\left(T\right)=P\left(R_{1} \cap R_{2} \right) équivaut successivement à
P(T)=P(R1)×PR1(R2)P\left(T\right)=P\left(R_{1} \right)\times P_{R_{1} } \left(R_{2} \right)
P(T)=18×14P\left(T\right)=\frac{1}{8} \times \frac{1}{4}
P(T)=132P\left(T\right)=\frac{1}{32}

Le gain du joueur est la somme reçue moins sa mise.
Ainsi, XX prendra les valeurs X={8;2;−1}X=\left\{8;2;-1\right\}
On va traduire ces informations dans un tableau que l'on appellera loi de probabilité :
Pour obtenir P(X=−1)P\left(X=-1\right) , on sait que P(X=−1)+P(X=2)+P(X=8)=1P\left(X=-1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=8\right)=1
Soit P(X=−1)=1−P(X=2)−P(X=8)P\left(X=-1\right)=1-P\left(X=2\right)-P\left(X=8\right)
Ainsi :
P(X=−1)=34P\left(X=-1\right)=\frac{3}{4}
Question 5

Calculer l'espérance mathématiques de XX et en donner une interprétation.

Correction

On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la valeur E(X)E\left(X\right) définie par :
E(X)=∑i=1npixiE\left(X\right)=\sum _{i=1}^{n}p_{i} x_{i}

Autrement dit E(X)=p1x1+p2x2+p3x3+…+pnxnE\left(X\right)=p_{1} x_{1} +p_{2} x_{2} +p_{3} x_{3} +\ldots +p_{n} x_{n}
Il en résulte que :
E(X)=8×132+2×732+(−1)×34E\left(X\right)=8\times \frac{1}{32} +2\times \frac{7}{32} +\left(-1\right)\times \frac{3}{4}
Soit : E(X)=−116E\left(X\right)=-\frac{1}{16} c'est-à-dire :
E(X)=−0,0625E\left(X\right)=-0,0625

En moyenne le joueur perdra 0,06250,0625€ par partie en jouant un très grand nombre de fois.
Question 6
Le joueur décide de faire nn parties consécutives supposées indépendantes (n≥2)\left(n\ge 2\right).

Justifier que la probabilité qu'il tire au moins une fois une boule de la deuxième urne est pn=1−(38)np_{n} =1-\left(\frac{3}{8} \right)^{n}

Correction
Le joueur tire une boule au deuxième tirage, cela signifie qu'il a tiré au premier tirage une bleue ou une rouge.
La probabilité qu'il tire alors une boule de la deuxième urne est de 58\frac{5}{8}
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès "tirer une boule dans la deuxième urne" avec la probabilité p=58p=\frac{5}{8}
On appelle échec "ne pas tirer une boule dans la deuxième urne" avec la probabilité 1−p=381-p=\frac{3}{8}
On répète nn fois de suite cette expérience de façon indépendante.
YY est la variable aléatoire qui associe le nombre de fois que l'on tire une boule de la deuxième urne.
YY suit la loi binomiale de paramètre nn et p=58p=\frac{5}{8} .
On note alors Y∼B(n;58)Y \sim B\left(n;\frac{5}{8} \right)

Il vient alors que :
pn=P(Y≥1)p_{n} =P\left(Y\ge 1\right) , on va utiliser l'évènement contraire, ce qui donne :
pn=1−P(Y=0)p_{n} =1-P\left(Y=0\right)
pn=1−(n0)×(58)0×(1−58)np_{n} =1-\left(\begin{array}{c} {n} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(\frac{5}{8} \right)^{0} \times \left(1-\frac{5}{8} \right)^{n}
pn=1−(38)np_{n} =1-\left(\frac{3}{8} \right)^{n}
On rappelle que (n0)=1\left(\begin{array}{c} {n} \\ {0} \end{array}\right)=1 et (58)0=1\left(\frac{5}{8} \right)^{0} =1
Question 7

Déterminer la limite de la suite (pn)\left(p_{n} \right)

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
D'après la question précédente, nous avons montré que : pn=1−(38)np_{n} =1-\left(\frac{3}{8} \right)^{n}
On sait que −1<38<1-1<\frac{3}{8} <1 donc lim⁡n→+∞(38)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{3}{8} \right)^{n} =0
Il en résulte que :
lim⁡n→+∞pn=1\lim\limits_{n\to +\infty } p_{n} =1
Question 8

A l'aide de la calculatrice, déterminer la plus petite valeur de nn telle que pn≥0,999p_{n} \ge 0,999.

Correction
A l'aide de la calculatrice, à partir de n=8n=8 , on a pn≥0,999p_{n} \ge 0,999
 Nota Bene :\red{\text{ Nota Bene :}}
Il est aussi possible de répondre à cette question en utilisant le logarithme (à ne prendre en compte que si tu l'as vu avec ton enseignant, mais au bac, cette question est souvent demandé).
pn≥0,999p_{n} \ge 0,999 équivaut successivement à
1−(38)n≥0,9991-\left(\frac{3}{8} \right)^{n} \ge 0,999
−(38)n≥0,999−1-\left(\frac{3}{8} \right)^{n} \ge 0,999-1
−(38)n≥−10−3-\left(\frac{3}{8} \right)^{n} \ge -10^{-3}
(38)n≤10−3\left(\frac{3}{8} \right)^{n} \le 10^{-3}
ln⁡(38)n≤ln⁡(10−3)\ln \left(\frac{3}{8} \right)^{n} \le \ln \left(10^{-3} \right) car A≤B⇔ln⁡(A)≤ln⁡(B)A\le B\Leftrightarrow \ln \left(A\right)\le \ln \left(B\right)
n×ln⁡(38)≤ln⁡(10−3)n\times \ln \left(\frac{3}{8} \right)\le \ln \left(10^{-3} \right)
n≥ln⁡(10−3)ln⁡(38)n\ge \frac{\ln \left(10^{-3} \right)}{\ln \left(\frac{3}{8} \right)} , on a changé le sens de l'inéquation car ln⁡(38)≤0\ln \left(\frac{3}{8} \right)\le 0
On cherche la valeur de ln⁡(10−3)ln⁡(38)\frac{\ln \left(10^{-3} \right)}{\ln \left(\frac{3}{8} \right)} à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
n≥8n\ge 8
(à la calculatrice on obtient ln⁡(10−3)ln⁡(38)≈7,04\frac{\ln \left(10^{-3} \right)}{\ln \left(\frac{3}{8} \right)} \approx 7,04 et on arrondi à l'entier supérieur).