Exercices types : Des probas et des suites (celui que vous aurez à votre DS) c'est sur :) - Exercice 1

On note $$a_{n}$$ la probabilité de l'évènement $$A_{n}$$ que l'on peut écrire $$p\left(A_{n} \right)=a_{n}$$
Il vient alors que $$a_{n+1}$$ la probabilité de l'évènement $$A_{n+1}$$. Autrement dit : $$p\left(A_{n+1} \right)=a_{n+1}$$
Les évènements $$A_{n}$$ et $$B_{n}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la loi des probabilités totales, on a :
$$p\left(A_{n+1} \right)=p\left(A_{n} \cap A_{n+1} \right)+p\left(B_{n}\cap A_{n+1} \right)$$
$$p\left(A_{n+1} \right)=p\left(A_{n} \right)\times p_{A_{n} } \left(A_{n+1} \right)+p\left(B_{n}\right)\times P_{B_{n} } \left(A_{n+1} \right)$$
$$p\left(A_{n+1} \right)=0,8 \times a_{n} + \left(1-a_{n} \right)\times 0,3$$
$$p\left(A_{n+1} \right)=0,8a_{n} +0,3-0,3a_{n}$$
Ainsi :

Pour tout entier naturel $$n\ge 1$$, posons la propriété $$P_{n} :0\le a_{n} \le 0,6$$
Etape d'initialisation
On sait que $$a_{1} =a=0,5$$ ainsi $$0\le a_{1} \le 0,6$$.
La propriété $$P_{1}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$0\le a_{k} \le 0,6$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$0\le a_{k+1} \le 0,6$$
Par hypothèse de récurrence :
$$0\le a_{k} \le 0,6$$ , on multiplie par $$0,5$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$0\times 0,5\le a_{k}\times 0,5\le 0,6\times 0,5$$
$$0\le 0,5a_{k}\le 0,3$$ , on ajoute $$0,3$$ de part et d'autre de l'inégalité. Il vient alors que :
$$0+0,3\le 0,5a_{k}+0,3\le 0,3+0,3$$
Ainsi :
$$0,3\le 0,5a_{k}+0,3\le 0,6$$ et on peut alors écrire que : $$\color{red}0\le$$ $$0,3\le a_{k+1}\le 0,6$$
d'où : $$0\le a_{k+1} \le 0,6$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{1}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n\ge 1$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n\ge 1$$, on a bien :

Nous savons que : $$a_{n+1}=0,5a_{n}+0,3$$
Pour étudier les variations de la suite $$\left(a_{n} \right)$$, il nous faut étudier le signe $$a_{n+1}-a_{n}$$.
Ainsi :
$$a_{n+1}-a_{n}=0,5a_{n}+0,3-a_{n}$$
$$a_{n+1}-a_{n}=-0,5a_{n}+0,3$$ . Nous allons étudier le signe de $$-0,5a_{n}+0,3$$
D'après la question précédente, nous avons vu que : $$0\le a_{n} \le 0,6$$. D'où :
$$0\times \left(-0,5\right)$$ $$\color{red}\ge$$ $$a_{n}\times \left(-0,5\right)$$ $$\color{red}\ge$$ $$0,6\times \left(-0,5\right)$$ . Nous avons changé le sens de l'inéquation car on nous avons multiplié par un nombre négatif. Que l'on peut aussi écrire :
$$-0,3\le -0,5a_{n} \le 0$$ . Nous rajoutons $$0,3$$ de part et d'autre de l'inégalité :
$$-0,3+0,3\le -0,5a_{n}+0,3 \le 0+0,3$$
$$0\le -0,5a_{n}+0,3 \le 0,3$$ . Or : $$a_{n+1}-a_{n}=-0,5a_{n}+0,3$$
Il vient alors que :
$$0\le a_{n+1}-a_{n} \le 0,3$$
Il en résulte donc que $$a_{n+1}-a_{n}\ge 0$$ .
La suite $$\left(a_{n} \right)$$ est bien croissante .

D'après la question $$3$$, nous avons démontré que la suite $$\left(a_{n} \right)$$ était bornée car : $$0\le a_{n} \le 0,6$$. La suite $$\left(a_{n} \right)$$ est donc également majorée par $$0,6$$ c'est à dire $$a_{n} \le 0,6$$.
D'après la question $$5$$, la suite $$\left(a_{n} \right)$$ est croissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(a_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$l$$.

Pour tout entier naturel $$n\ge 1$$
Nous savons que $$a_{n+1}=0,5a_{n}+0,3$$ et que $$u_{n} =a_{n}-0,6$$ .
Ainsi :
$$u_{n} =a_{n}-0,6$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$u_{n+1} =a_{n+1} -0,6$$ . On remplace l'expression de $$a_{n+1}$$ par $$a_{n+1}=0,5a_{n}+0,3$$.
$$u_{n+1} =0,5a_{n}+0,3 -0,6$$
$$u_{n+1} =0,5{\color{blue}a_{n}}-0,3$$
Or $$u_{n} =a_{n}-0,6$$ donc $${\color{blue}u_{n} +0,6=a_{n}}$$
$$u_{n+1} =0,5\left({\color{blue}u_{n} +0,6}\right)-0,3$$
$$u_{n+1} =0,5u_{n} +0,5\times 0,6-0,3$$
$$u_{n+1} =0,5u_{n} +0,3-0,3$$

Ainsi la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,5$$ et de premier terme $$u_{1} =a_{1} -0,6=a-0,6$$ donc $$u_{1} =a-0,6$$

Ainsi :
On sait que : $$u_{n} =a_{n}-0,6$$ donc $$u_{n} +0,6=a_{n}$$
Il vient alors que :

D'après la question précédente, nous savons que : $$a_{n} =\left(a-0,6\right)\times 0,5^{n-1} +0,6$$Comme $$-1\le 0,5\le 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 0,5^{n-1} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(a-0,6\right)\times 0,5^{n-1} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(a-0,6\right)\times 0,5^{n-1} +0,6=0,6$$
Ainsi :
Cette limite ne dépend pas de la valeur de $$a$$ car le résultat de la limite ne s'exprime pas avec $$a$$.

Sur le long terme, la probabilité que le joueur fasse une partie de type $$A$$ est $$0,6$$ et donc celle qu’il fasse une partie de type $$B$$ est $$1-0,6=0,4$$. Le joueur verra plus souvent la publicité insérée dans les jeux de type $$A$$.