Exercice 2 - Exercice 1

D'après l'énoncé, on en déduit l'arbre suivant :

On note $$p_{n}$$ la probabilité de l'évènement $$G_{n}$$.
Il vient alors que $$p_{n+1}$$ la probabilité de l'évènement $$G_{n+1}$$, c'est-à-dire : $$p_{n+1} =p\left(G_{n+1} \right)$$.
Les évènements $$G_{n}$$ et $$\overline{G_{n} }$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
$$p\left(G_{n+1} \right)=p\left(G_{n} \cap G_{n+1} \right)+p\left(\overline{G_{n}}\cap G_{n+1} \right)$$
$$p\left(G_{n+1} \right)=p\left(G_{n} \right)\times p_{G_{n} } \left(G_{n+1} \right)+p\left(\overline{G_{n} }\right)\times p_{\overline{G_{n} }} \left(G_{n+1} \right)$$
$$p\left(G_{n+1} \right)=\frac{2}{5} p_{n} +\frac{1}{5} \left(1-p_{n} \right)$$
$$p\left(G_{n+1} \right)=\frac{1}{5} p_{n} +\frac{1}{5}$$

Pour tout $$n$$ entier naturel non nul, on a :
$$u_{n} =p_{n} -\frac{1}{4}$$
$$u_{n+1} =p_{n+1} -\frac{1}{4} .$$
Or : $$p_{n+1} =\frac{1}{5} p_{n} +\frac{1}{5}$$, il vient alors :
$$u_{n+1} =\frac{1}{5} p_{n} +\frac{1}{5} -\frac{1}{4}$$
$$u_{n+1} =\frac{1}{5} p_{n} -\frac{1}{20} .$$
Or : $$u_{n} =p_{n} -\frac{1}{4}$$ d'où : $$u_{n} +\frac{1}{4} =p_{n}$$
$$u_{n+1} =\frac{1}{5} \left(u_{n} +\frac{1}{4} \right)-\frac{1}{20}$$
$$u_{n+1} =\frac{1}{5} u_{n} +\frac{1}{20} -\frac{1}{20}$$

L'égalité $$u_{n+1} =\frac{1}{5} u_{n}$$ montre que la suite $$(u_{n} )_{n\in N}$$ est une suite géométrique de raison $$\frac{1}{5}$$ et de premier terme $$u_{1} =p_{1} -\frac{1}{4} =1-\frac{1}{4} =\frac{3}{4}$$ .

Commençons par exprimer $$u_{n}$$ en fonction de $$n$$.
Pour tout naturel supérieur ou égal à $$1$$ :
$$u_{n} =u_{1} \times q^{n-1}$$

Ensuite exprimons $$p_{n}$$ en fonction de $$n$$.
Comme $$u_{n} =p_{n} -\frac{1}{4}$$ alors $$p_{n} =u_{n} +\frac{1}{4}$$
On a finalement :

Comme $$-1<\frac{1}{5} <1$$ alors $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{5} \right)^{n-1} =0$$ et $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{3}{4} \times \left(\frac{1}{5} \right)^{n-1} =0$$.
Il en résulte que :
Au bout d'un très grand nombre de parties, la probabilité de gagner sera proche d'une chance sur quatre.

A chaque tirage la probabilité de gagner une partie est égale à $$\frac{1}{4}$$.
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès « gagner une partie » avec la probabilité $$p=\frac{1}{4}$$
On appelle échec « perdre une partie » avec la probabilité $$1-p=\frac{1}{4}$$
On répète dix fois de suite cette expérience de façon indépendante.
$$X$$ est la variable aléatoire qui associe le nombre de parties gagnées par le joueur.
$$X$$ suit la loi binomiale de paramètre $$n=10$$ et $$p=\frac{1}{4}$$.
On note alors

$$p(X\ge 1)=1-p\left(X=0\right)$$
$$p(X\ge 1)=1-\left(\begin{array}{l} {10} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(\frac{1}{4} \right)^{0} \times \left(\frac{3}{4} \right)^{10}$$
A la calculatrice, on obtient :
$$p(X\ge 1)\approx 0,943$$
arrondi à $$10^{-2}$$ près.

On a :

Cela signifie que le joueur gagne en moyenne $$2,5$$ parties sur les $$10$$ parties.
Le joueur doit payer $$30$$ euros pour jouer les $$10$$ parties.
Chaque partie gagnée lui rapporte $$8$$ euros.

Le joueur doit payer $$30$$ euros pour les $$10$$ parties et récupérera en moyenne $$2,5\times8 = 20$$ euros. (Espérance de gagner $$2,5$$ parties sur $$10$$)
En moyenne les $$10$$ parties coûteront $$30 - 20 = 10$$ euros, soit $$1$$ euros par partie.
Le jeu est donc désavantageux.

Pour réaliser un bénéfice supérieur à $$40$$ euros, vu la mise de $$30$$ euros, il faut gagner plus de $$70$$ euros.
Comme $$8 \times 8 = 64$$, il faut donc gagner $$9$$ parties au moins sur 10 $$\left(9\times8 = 72\right)$$.

On note :
$$F$$ l'événement « la personne interrogée est une femme » ;
$$H$$ l'événement « la personne interrogée est un homme » ;
$$P$$ l'événement &laqup; la personne interrogée travaille à temps partiel » ;
$$\overline{P}$$ l'événement « la personne interrogée ne travaille pas à temps partiel »
On regroupe les données du texte dans un arbre pondéré :

On cherche à déterminer la probabilité que la personne interrogée soit un homme, c'est à dire :
$$p_{p} (H)=\frac{p\left(P\cap H\right)}{p\left(P\right)}$$
D'après le texte, $$p\left(P\right)=0,36$$.
Les évènements $$F$$ et $$H$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales : $$p\left(P\right)=p\left(F\cap H\right)+p\left(H\cap P\right)$$
$$p\left(P\right)=p\left(F\right)\times p_{F} \left(P\right)+p\left(H\cap P\right)$$
On en déduit que $$0,36=0,6\times 0,56+p\left(H\cap P\right)$$ donc que $$p\left(H\cap P\right)=0,36-0,6\times 0,56=0,024$$.
Donc que :
$$p_{p} (H)=\frac{p\left(P\cap H\right)}{p\left(P\right)} =\frac{0,024}{0,236} =\frac{1}{15}$$
$$p_{p} (H)=\frac{0,024}{0,236}$$

La réponse est donc : $$p_{p} (H)=\frac{1}{15}$$