Les nombres complexes

Savoir déterminer la forme trigonométrique et la forme exponentielle avec les complexes - Exercice 2

5 min
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Question 1
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :

z1z_{1} de module 22 et d'argument π4\frac{\pi}{4}

Correction

Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
  • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=∣z∣(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
Avec ces informations, nous sommes en mesure donner la forme trigonométrique de z1z_{1}.
z1=2(cos⁡(π4)+isin⁡(π4))z_{1}=2\left(\cos \left(\frac{\pi}{4} \right)+i\sin \left(\frac{\pi}{4} \right)\right) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus.
z1=2×(22+i22)z_{1}=2\times\left(\frac{\sqrt{2} }{2} +i\frac{\sqrt{2} }{2}\right)
z1=2×22+2×22iz_{1} =2\times \frac{\sqrt{2} }{2} +2\times \frac{\sqrt{2} }{2} i
z1=2+i2z_{1} =\sqrt{2} +i\sqrt{2}
Question 2

z2z_{2} de module 55 et d'argument −2π3-\frac{2\pi}{3}

Correction

Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
  • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=∣z∣(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
Avec ces informations, nous sommes en mesure donner la forme trigonométrique de z1z_{1}.
z2=5(cos⁡(−2π3)+isin⁡(−2π3))z_{2}=5\left(\cos \left(-\frac{2\pi}{3} \right)+i\sin \left(-\frac{2\pi}{3} \right)\right) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus.
z2=5×(−12−i32)z_{2}=5\times\left(-\frac{1 }{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2}\right)
z2=5×(−12)+5×(−32i)z_{2} =5\times \left(\frac{-1}{2} \right)+5\times \left(\frac{-\sqrt{3} }{2} i\right)
z2=−52−532iz_{2} =-\frac{5}{2} -\frac{5\sqrt{3} }{2} i

Question 3

z3z_{3} de module 3\sqrt{3} et d'argument 5π6\frac{5\pi}{6}

Correction

Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
  • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=∣z∣(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
Avec ces informations, nous sommes en mesure donner la forme trigonométrique de z1z_{1}.
z3=3(cos⁡(5π6)+isin⁡(5π6))z_{3}=\sqrt{3}\left(\cos \left(\frac{5\pi}{6} \right)+i\sin \left(\frac{5\pi}{6} \right)\right) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus.
z3=3×(−32+12i)z_{3}=\sqrt{3}\times\left(-\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1 }{2}i\right)
z3=3×(−32)+3×12iz_{3} =\sqrt{3}\times \left(-\frac{\sqrt{3} }{2} \right)+\sqrt{3}\times \frac{1 }{2} i
z3=−32+32iz_{3} =-\frac{3}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} i