Les nombres complexes

QCM : Faciles - Exercice 2

15 min
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Question 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Il est bien sur demandé de justifier :)

On considère le nombre complexe z=−3−i5z=-\sqrt{3} -i\sqrt{5}. Alors zz‾z\overline{z} est égale à :
  • 3+5i3+5i
  • −3−5i-3-5i
  • −8-8
  • 88

Correction
La bonne réponse est dd.

Soient xx et yy deux réels. Nous définissons le nombre complexe zz sous sa forme algébrique telle que : z=x+iyz=x+iy et son conjugué z‾=x−iy\overline{z}=x-iy. Alors :
zz‾=x2+y2z\overline{z} =x^{2}+y^{2}
zz‾=(−3)2+(−5)2z\overline{z}=\left(-\sqrt{3} \right)^{2} +\left(-\sqrt{5} \right)^{2}
zz‾=3+5z\overline{z}=3+5
Ainsi :
zz‾=8z\overline{z}=8

Question 2

On considère le nombre complexe zB=−2eiπ3z_{B} =-2e^{i\frac{\pi }{3} }. Alors arg⁡(zB)=\arg \left(z_{B} \right)=
  • π3\frac{\pi }{3}
  • −π3-\frac{\pi }{3}
  • 4π3\frac{4\pi }{3}
  • −2π3-\frac{2\pi }{3}

Correction
La bonne réponse est cc.
Attention, l'expression de zBz_{B} sous la forme −2eiπ3-2e^{i\frac{\pi }{3} } n'est pas une écriture exponentielle à cause du signe moins.

Ce sont ci-dessous des valeurs remarquables à retenir :
  • ei0=1e^{i0 }=1
  • eiπ=−1e^{i\pi }=-1
  • eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2} }=i
  • e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2} }=-i
Ainsi : −2=2eiπ-2=2e^{i\pi }
Donc : zB=−2eiπ3z_{B} =-2e^{i\frac{\pi }{3} } peut également s'écrire :
zB=2eiπ×eiπ3z_{B}=2e^{i\pi }\times e^{i\frac{\pi }{3} }
zB=2ei(π+π3)z_{B} =2e^{i\left(\pi +\frac{\pi }{3} \right)}
Ainsi : zB=2ei4π3z_{B} =2e^{i\frac{4\pi }{3} }
Ici, nous avons donc bien une forme exponentielle et
arg⁡(zB)=4π3[2π]\arg \left(z_{B} \right)=\frac{4\pi }{3}\left[2\pi\right]
Question 3

S=1+i+i2+i3+…+i2017S=1+i+i^{2} +i^{3} +\ldots +i^{2017} est égale à :
  • 00
  • 11
  • 1+i1+i
  • 1−i1-i

Correction
La bonne réponse est cc.
S=1+i+i2+i3+…+i2017S=1+i+i^{2} +i^{3} +\ldots +i^{2017}.
Nous reconnaissaons la somme des termes d'une suite géométrique de raison ii et de premier terme 11.
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
    • Ici, nous avons une somme qui va de 1+i+i2+i3+…+i20171+i+i^{2} +i^{3} +\ldots +i^{2017} c'est à dire i0+i1+i2+i3+…+i2017i^{0}+i^{1}+i^{2} +i^{3} +\ldots +i^{2017} donc nous avons 2017−0+1=20182017-0+1=2018 termes.
    S=1×(1−i20181−i)S=1\times \left(\frac{1-i^{2018} }{1-i} \right)
    S=1−i20181−iS=\frac{1-i^{2018} }{1-i}
    S=1−(i2)10091−iS=\frac{1-\left(i^{2} \right)^{1009} }{1-i} car i2018=(i2)1009i^{2018}=\left(i^{2} \right)^{1009}
    S=1−(−1)10091−iS=\frac{1-\left(-1\right)^{1009} }{1-i} . Or (−1)1009=−1\left(-1\right)^{1009}=-1 car 10091009 est une puissance impaire .
    S=1−(−1)1−iS=\frac{1-\left(-1\right)}{1-i}
    S=21−iS=\frac{2}{1-i}
    S=2(1+i)(1−i)(1+i)S=\frac{2\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)} . Nous allons multiplié par le conjugué du dénominateur.
    S=2+2i12+12S=\frac{2+2i}{1^{2} +1^{2} }
    S=2+2i2S=\frac{2+2i}{2}
    Finalement :
    S=1+iS=1+i

    Question 4

    Si z1=−1+i3z_{1}=-1+i\sqrt{3} et z2=eiπ3z_{2}=e^{i\frac{\pi}{3}} alors le quotient z1(z2)2\frac{z_{1} }{\left(z_{2} \right)^{2} } vaut :
    • −2-2
    • 22
    • 2i2i
    • −2i-2i

    Correction
    La bonne réponse est bb.
    Dans un premier temps, nous allons donner la forme algébrique de (z2)2\left(z_{2} \right)^{2} .
    • (eiθ)n=einθ\left(e^{i\theta } \right)^{n} =e^{in\theta }
    (z2)2=(eiπ3)2\left(z_{2} \right)^{2}=\left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^{2} .
    (z2)2=ei2π3\left(z_{2} \right)^{2}=e^{i\frac{2\pi}{3}}

    Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture exponentielle de zz est alors z=∣z∣eiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
    • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=∣z∣(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
    (z2)2=ei2π3\left(z_{2} \right)^{2}=e^{i\frac{2\pi}{3}} équivaut successivement à :
    (z2)2=cos⁡(2π3)+isin⁡(2π3)\left(z_{2} \right)^{2}=\cos \left(\frac{2\pi}{3} \right)+i\sin \left(\frac{2\pi}{3} \right) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus.
    (z2)2=−12+i32\left(z_{2} \right)^{2}=-\frac{1 }{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2}

    Maintenant calculons : z1(z2)2\frac{z_{1} }{\left(z_{2} \right)^{2} }
    z1(z2)2=−1+i3−12+i32\frac{z_{1} }{\left(z_{2} \right)^{2} } =\frac{-1+i\sqrt{3} }{-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} } équivaut successivement à :
    z1(z2)2=(−1+i3)(−12−i32)(−12+i32)(−12−i32)\frac{z_{1} }{\left(z_{2} \right)^{2} } =\frac{\left(-1+i\sqrt{3} \right)\left(-\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)}{\left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)\left(-\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)}
    z1(z2)2=(−1)×(−12)+(−1)×(−i32)+i3×(−12)+i3×(−i32)(−12)2+(32)2\frac{z_{1} }{\left(z_{2} \right)^{2} } =\frac{\left(-1\right)\times \left(-\frac{1}{2} \right)+\left(-1\right)\times \left(-i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)+i\sqrt{3} \times \left(-\frac{1}{2} \right)+i\sqrt{3} \times \left(-i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)}{\left(-\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2} }
    z1(z2)2=12+i32−i32−32i214+34\frac{z_{1} }{\left(z_{2} \right)^{2} } =\frac{\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{3}{2} i^{2} }{\frac{1}{4} +\frac{3}{4} }
    z1(z2)2=12+i32−i32+32\frac{z_{1} }{\left(z_{2} \right)^{2} } =\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{3}{2}
    z1(z2)2=42\frac{z_{1} }{\left(z_{2} \right)^{2} } =\frac{4}{2}
    z1(z2)2=2\frac{z_{1} }{\left(z_{2} \right)^{2} } =2

    Question 5

    Si z1=−1+i3z_{1}=-1+i\sqrt{3} et z2=eiπ3z_{2}=e^{i\frac{\pi}{3}} alors le produit z1‾×z2\overline{z_{1} }\times z_{2} vaut :
    • 1−i31-i\sqrt{3}
    • 1+i31+i\sqrt{3}
    • −1+i3-1+i\sqrt{3}
    • −1−i3-1-i\sqrt{3}

    Correction
    La bonne réponse est aa.
    Dans un premier temps, nous allons donner la forme algébrique de z2z_{2} .

    Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture exponentielle de zz est alors z=∣z∣eiθz=\left|z\right|e^{i\theta }
    • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=∣z∣(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
    z2=eiπ3z_{2}=e^{i\frac{\pi}{3}} équivaut successivement à :
    z2=cos⁡(π3)+isin⁡(π3)z_{2}=\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)+i\sin \left(\frac{\pi}{3} \right) . Nous allons maintenant donner la forme algébrique en donnant les valeurs du cosinus et du sinus.
    z2=12+i32z_{2}=\frac{1 }{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2}

    Maintenant calculons : z1‾×z2\overline{z_{1} }\times z_{2}
    z1‾×z2=(−1−i3)×(12+i32)\overline{z_{1} }\times z_{2} =\left(-1-i\sqrt{3} \right)\times \left(\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right) équivaut successivement à :
    z1‾×z2=(−1)×12+(−1)×(i32)+(−i3)×12+(−i3)×(i32)\overline{z_{1} }\times z_{2} =\left(-1\right)\times \frac{1}{2} +\left(-1\right)\times \left(i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)+\left(-i\sqrt{3} \right)\times \frac{1}{2} +\left(-i\sqrt{3} \right)\times \left(i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)
    z1‾×z2=−12−i32−i32−32i2\overline{z_{1} }\times z_{2} =-\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2} - \frac{3}{2}i^{2}
    z1‾×z2=−12−i32−i32+32\overline{z_{1} }\times z_{2} =-\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{3}{2}
    z1‾×z2=22−2i32\overline{z_{1} }\times z_{2} =\frac{2}{2} -2i\frac{\sqrt{3} }{2}
    z1‾×z2=1−i3\overline{z_{1} }\times z_{2} =1-i\sqrt{3}