QCM : Faciles - Exercice 1

$$\red{\text{ La proposition est VRAIE. }}$$
On note $$A=\frac{1+i}{3-i}$$, nous allons calculer la forme algébrique de $$A$$ .
$$A=\frac{\left(1+i\right)\left(3+i\right)}{\left(3-i\right)\left(3+i\right)}$$
$$A=\frac{3+i+3i+i^{2} }{3^{2} +1^{2} }$$
$$A=\frac{3+i+3i-1}{10}$$
$$A=\frac{2+4i}{10}$$
$$A=\frac{2}{10}+\frac{4i}{10}$$

On note $$B=1-2i$$, l'inverse de $$B$$ noté $$C$$ vaut $$\frac{1}{1-2i}$$. L'objectif est de vérifier ici que $$C=A$$
Nous allons calculer la forme algébrique de $$C=\frac{1}{1-2i}$$
$$C=\frac{1}{1-2i}$$
$$C=\frac{1\times \left(1+2i\right)}{\left(1-2i\right)\left(1+2i\right)}$$
$$C=\frac{1+2i}{1^{2} +2^{2} }$$
$$C=\frac{1+2i}{5}$$
$$C=\frac{1}{5} +\frac{2i}{5}$$

On a bien le fait que l'inverse de $$\frac{1+i}{3-i}$$ est $$1-2i$$.

$$\red{\text{ La proposition est VRAIE. }}$$
$$\left(1+i\right)^{4n} =\left(\left(1+i\right)^{4} \right)^{n}$$ car $$\left(a^{n} \right)^{m} =a^{n\times m}$$.
On développer maintenant $$\left(1+i\right)^{4}$$ . Or : $$\left(1+i\right)^{4} =\left(1+i\right)^{2} \times \left(1+i\right)^{2} =-4$$
$$\left(1+i\right)^{4n} =\left(\left(1+i\right)^{4} \right)^{n}$$ d'où

$$\red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}$$
Le conjugué de $$z+i$$ est .
En effet , d'après votre cours $$\overline{z_{1} +z_{2} }=\overline{z_{1} }+\overline{z_{2} }$$

$$\red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}$$
Soit $$z$$ un nombre complexe différent de $$-2$$.
Comme $$z'=\frac{z-1}{z+2}$$ et que $$z=-i$$, il vient alors que :
$$z'=\frac{-i-1}{-i+2}$$ on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par $$i+2$$.
$$z'=\frac{\left(-i-1\right)\left(i+2\right)}{\left(-i+2\right)\left(i+2\right)}$$ équivaut successivement :
$$z'=\frac{-i^{2}-2i-i-2 }{1^{2} +2^{2} }$$
$$z'=\frac{1-3i-2}{5}$$
Ainsi :

$$\red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}$$
Soit $$z$$ un nombre complexe différent de $$-2$$.
Comme $$z'=\frac{z-1}{z+2}$$ et que $$z'=-i$$, il vient alors que :
$$\frac{z-1}{z+2}=-i$$ qui peut également s'écrire $$\frac{z-1}{z+2} =\frac{-i}{1}$$ . Ici on utilise le rappel :
Il vient alors que :
$$z-1=\left(z+2\right)\left(-i\right)$$ équivaut successivement à :
$$z-1=-iz-2i$$
$$z+iz=-2i+1$$
$$z\left(1+i\right)=-2i+1$$
$$z =\frac{-2i+1}{1+i}$$ . On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par $$1-i$$.
$$z=\frac{\left(-2i+1\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}$$
$$z=\frac{-2i+2i^{2}+1-i }{1^{2} +1^{2} }$$
$$z=\frac{-2i-2+1-i }{2 }$$
Ainsi :

$$\red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}$$
Soit $$z\in \mathbb{C}$$, posons : $$z=x+iy$$ et $$\overline{z}=x-iy$$ avec $$x$$, $$y$$ des réels.
$$-z=\overline{z}$$ équivaut successivement à :
$$-\left(x+iy\right)=x-iy$$
$$-x-iy=x-iy$$
$$-x-iy-x+iy=0$$
$$-2x=0$$
Ainsi :. Ici, ATTENTION, il n'y a pas qu'une solution. En effet, n'oublions que nous avons posé $$z=x+iy$$ et comme $$x=0$$ alors $$z=iy$$. Cela signifie que toutes les solutions de l'équation $$-z=\overline{z}$$ sont situés sur l'axe des ordonnées c'est à dire la droite d'équation $$x=0$$.

$$\red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}$$
On pose $$z=x+iy$$. Ainsi
$$Z=2\left(x+iy\right)^{2} -3i\left(x+iy\right)$$ équivaut successivement à :
$$Z=2\left(x^{2} +2ixy+i^{2} y^{2} \right)-3ix-3i^{2} y$$
$$Z=2\left(x^{2} +2ixy-y^{2} \right)-3ix+3y$$
$$Z=2x^{2} +4ixy-2y^{2} -3ix+3y$$
$$Z=2x^{2} -2y^{2}+3y +i\left(-3x+4xy\right)$$

Ainsi la partie réelle est notée et la partie imaginaire est notée

$$\red{\text{ La proposition est FAUSSE. }}$$
$$Z$$ est un réel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Donc $$Im\left(Z\right)=-3x+4xy=0$$
$$-3x+4xy=0$$ équivaut à $$x\left(-3+4y\right)=0$$ ( équation produit nul )
$$x=0{\text{ ou }} -3+4y=0$$.
Finalement :
L'ensemble $$\left(E\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un réel est donc la réunion de la droite des ordonnées et la droite horizontale d'équation $$y=\frac{3}{4}$$.

$$\red{\text{ La proposition est VRAIE. }}$$
Calculons d'une part :
$$z_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}$$
$$z_{\overrightarrow{AB} }=3+i-\left(-3+2i\right)$$
$$z_{\overrightarrow{AB} }=3+i+3-2i$$

Calculons d'autre part :
$$z_{\overrightarrow{BC} }=z_{C}-z_{B}$$
$$z_{\overrightarrow{BC} }=-9+3i-\left(3+i\right)$$
$$z_{\overrightarrow{BC} }=-9+3i-3-i$$

On remarque que : $$z_{\overrightarrow{BC} }=-2\times z_{\overrightarrow{AB} }$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{BC}$$ sont colinéaires donc les points $$A$$, $$B$$ et $$C$$ sont alignés.